Bir enterpolasyon formülünden bir kareleme formülü elde etmek ve enterpolasyon formülü ile aynı kesinlik derecesini korumak mümkündür. Bu, bağımsız değişken xi’nin rastgele aralıklı değerlerinde belirtilen fonksiyonlar için kareleme formülünün elde edilmesi için temel sağlar. Örneğin, keyfi bir aralık için denklemi basitçe değerlendirmek verim verir.

Bununla birlikte, Li(x)’in analitik entegrasyonu, n büyüdüğünde sıkıcı hale gelebilir, bu nedenle böyle bir kareleme şeması için ağırlıkları elde etmek için alternatif bir strateji veriyoruz. Şemanın, n derecesindeki herhangi bir polinom için kesin yanıtlar vermesi için n kesinlik derecesine sahip olduğunu unutmayın. Ancak yalnızca bir ağırlık kümesi olabilir, bu nedenle cevabını bildiğimiz bir dizi polinom için karşılanması gereken koşulları, yani xi’yi belirtiriz. Bu nedenle yazabiliriz.

Formülün gerekli kesinlik derecesine n sahip olması isteniyorsa, soldaki integral, sağdaki toplama eşit olması gereken merkez terimi elde etmek için kolaylıkla değerlendirilebilir. Denklemler, n+1 ağırlık Wi’de n+1 doğrusal denklemi temsil eder. Lineer denklemlerin çözümünü daha önce detaylı olarak ele aldığımız için, çözülecek ağırlıkları bulma problemini ele alabiliriz.

Denklemlerde verilen noktaların aralığı tamamen keyfi iken, örnek olarak bu denklemleri Simpson kuralı için ağırlıkları belirlemek için kullanabiliriz. 0 → 2h aralığında bir integrali hesaplayacağımızı varsayalım. O zaman ağırlıklar için denklemler olur.

Denklemde verilen ağırlıklar, denklem tarafından verilen yaklaşık formüle götüren denklemdeki Simpson kuralı için bulunanlarla aynıdır. Ağırlıkları bu yöntemle bulmanın ayrıntıları, önceki bölümde tartışılan yönteme göre genellikle tercih edilecek kadar basittir.

Ağırlıkları belirlemek için başka alternatifler de var. Örneğin, denklemdeki integralin kendisi, n dereceli bir polinomun integralidir ve bu nedenle, bu kesinlik derecesine sahip herhangi bir kareleme şeması tarafından tam olarak değerlendirilebilir. İstenen şemanın aralığına hiç sahip olması gerekmez.

Gerçekten de, integral, yeterli sayıda toplam nokta ile çalışan bir Simpson kuralı kullanılarak yeterli bir doğruluk düzeyinde değerlendirilebilir. Veya ağırlıklar, aşağıda açıklanan oldukça verimli Gauss tipi dördün şemaları kullanılarak elde edilebilir. Her halükarda, istenen kesinlik derecesine sahip olmak için ağırlıkların karşılaması gereken koşul denklemlerini yazarak hemen hemen her soruna uyacak şekilde bir kareleme şeması uyarlanabilir.

Elbette, bu yaklaşımla ilgili bazı potansiyel tuzaklar var. Çok yüksek derecede hassas formüller aranırsa, denklemler neredeyse tekil hale gelebilir ve güvenilir kareleme şemaları için gereken doğrulukla çözülmesi oldukça zor olabilir. Bu kadar yüksek hassasiyette formüller gerçekten gerekliyse, Gauss dördün şemaları düşünülmelidir.

Gauss Dördün Şemaları

Şimdi, ilk olarak 19. yüzyılın parlak matematikçisi Karl Friedrich Gauss tarafından önerilen bir kareleme şemaları sınıfına dönüyoruz. Gauss, belirli sayıda noktada belirtilen bir işlev için tasarlanmış bir kareleme şeması için, bu noktaların konumu ek serbest parametreler olarak kabul edilirse, çok daha yüksek bir kesinlik derecesi elde edilebileceğini kaydetti.

Dolayısıyla, N ağırlığa ek olarak belirtilecek N konum varsa, yalnızca N noktada belirtilen bir fonksiyon için 2N-1 kesinlik derecesine sahip bir formül elde edilebilir. Ancak, uygun N noktaları olmaları gerekir.

Yani, konumları artık keyfi olmayacak ve böylece fonksiyon, bağımsız değişken xi’nin belirli bir değerler kümesinde bilinmelidir. Kesinlik derecesi ayarlanabilir parametre sayısını aşmadığından, böyle bir formül hiper verimli bir formül olarak kabul edilmez. Belirli bir problemde mevcut olan bu tür parametrelerin sayısı basitçe artırılmıştır.

Azalarak artan fonksiyon
Artan fonksiyon örnekleri
Negatif tanımlı fonksiyon ne demek
Artan azalan fonksiyon örnekleri
Artan azalan fonksiyon nasıl anlaşılır
artan azalan fonksiyon
Artan fonksiyon denklemi
Pozitif değerli fonksiyon ne demek

Daha sonra soru, bu yüksek hassasiyet derecesine sahip bir kareleme formülü elde etmek istendiği gerçeği göz önüne alındığında, fonksiyonun değerlendirilmesi için uygun yerlerin nasıl bulunacağı haline gelir. Bir enterpolasyon formülünden bir kareleme formülü elde etme fikrine bir kez daha başvurabiliriz.

2N-1 hassasiyet derecesine sahip Hermite enterpolasyonunu geliştirdik. (Not: Bu tartışmada, eğer noktalar sıfırdan başlarsa, gerçek numaralandırma N=n+1 olacak şekilde burada n, tartışmadaki toplamların limitidir.) Denklem gereken kesinlik derecesine sahip olduğundan, integralinin olacağını biliyoruz. uygun derecenin bir kareleme formülünü sağlayın.

Şimdi, sağ taraftaki ikinci toplamın sıfırlanması sağlanabilseydi, denklem istenen kareleme formülüne benzerdi. Hj(x) ağırlık fonksiyonlarının kendileri her zaman sıfır olmayacak olsa da, integrallerinin hangi koşullar altında sıfır olacağını sorabiliriz.

Burada denklemde görünen ek çarpımsal doğrusal polinom uj(x), n+1 dereceli polinom Π(x)’i üretmek için Lagrange polinomlarından Lj(x) birine dahil edilmiştir. Dolayısıyla f'(xi)’nin ağırlıklarının yok olma koşulu olur.

Paydadaki çarpım, basitçe sıfır olmayan bir sabittir, dolayısıyla denklemden çıkarılabilir. Kalan integral, ortogonal polinomların tanımı için dikkat çekici şekilde integrale benziyor.

Aslında, Li(x) n [veya (N-1)] dereceli bir polinom olduğundan ve Π(x) n+1 (ayrıca N) dereceli bir polinom olduğundan, denklemin geçerli olması için gerekli koşullar şu şekilde karşılanacaktır: Π(x), a → b aralığında ortogonal olan polinomlar kümesinin bir üyesidir.

Ancak f(x) fonksiyonunun ve dolayısıyla Π(x)’in değerlendirileceği xj değerlerini seçmediğimiz için Π(x)’i tam olarak belirtmedik. Şimdi Π(x)’in tanımından, xj’nin değerlerinin Π(x)’in temsil ettiği n+1 (veya N) dereceli bir polinomun kökleri olduğu açıktır.

Böylece, f'(x)’in ağırlıklarının yok olması için xj’lerin nasıl seçileceğini artık biliyoruz. a → b aralığında ortogonal bir kümenin üyesi olan (n+1)’inci derece polinomun kökleri olarak seçin. Bu, denklemdeki ikinci toplamın her zaman yok olmasını ve koşulun olmasını sağlayacaktır.

Şimdi, bu ağırlıklar analitik olarak değerlendirilebilir veya herhangi bir kareleme ağırlığının sağlaması gereken koşul denklemlerinden değerlendirilebilir.

Sonlu aralığın kapsamı her zaman −1 → +1 aralığına dönüştürülebileceğinden, burada uygun ortonormal polinomlar Legendre polinomlarıdır ve ağırlıklar f(x) fonksiyonundan bağımsızdır, değeri ile belirtilecektir. Tek başına N ve bir kez ve herkes için tablo haline getirilebilir.

Muhtemelen Gauss kareleme için kökler ve ağırlıkların en eksiksiz tabloları bulunabilir ve özellikle sıra dışı bir kareleme şemasına ihtiyaç duyulmadıkça bu tablolar yeterli olacaktır.

The post Aralıklı Fonksiyonlar – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti first appeared on Ödev - Tez - Proje Hazırlatma Merkezi.