Hotelling ve Bodewig Yöntemi temel olarak özel bir gevşeme tekniğidir ve bu tür teknikler hemen hemen her yineleme şemasıyla kullanılabilir. Genel olarak, gevşetme yöntemleri, kararlılık için yakınsama hızını oynatma eğilimindedir. Gevşeme tekniklerinin genel teorisiyle uğraşmak yerine, onları lineer denklemlere uygulayarak açıklayacağız.

Çözüm vektörünün her bir elemanı her denklemde görünebileceğinden, bir elemana yapılan tek bir düzeltme, kalan vektörün tamamını değiştirebilir. Yeni artık vektörün öğeleri, başlangıçtaki artık vektörden bir miktar farklı olacaktır.

Açıkça ρi ne kadar küçük olursa, xi’ye yapılan düzeltme o kadar küçük olur ve yakınsamak için iterasyon o kadar uzun sürer. Bu tekniğin avantajı, her bilinmeyeni bireysel bir şekilde ele alması ve bu nedenle son derece kararlı olma eğiliminde olmasıdır.

Bir gevşeme sürecinin belirli bir örneğini sağlamak, kavramı sınırlıyormuş gibi görünme riskini taşır. Tanımladığımız diğer yinelemeli prosedürlerden farklı olarak, gevşetme şemaları, çözüm vektörünün elemanlarına düzeltme seçimini tamamen keyfi bırakır.

Bununla birlikte, düzeltmeleri seçtikten sonra şema, çözüm vektörünün her bir öğesi için bir gevşetme parametresi hesaplayarak bunların ne kadarının uygulanacağını açıklar. Bu yöntemlerin yakınsaması genellikle yavaş olsa da, kararlılıkları genellikle oldukça iyidir. Yöntemi, diğer yinelemeli süreçleri göstermek için kullanılan aynı denklem sistemine uygulayarak göstereceğiz.

Yinelemeli şemaların ilk tahmini için kullandığımız aynı ilk çözümü seçerek başlıyoruz [yani xr =(1, 1, 1)]. Bu ilk tahmini denkleme ekleyerek, bir kalıntı vektörü veren yaklaşık sabit vektör cr(k)’yi elde ederiz.

İlk tahminlerin, yalnızca yineleme şemasının başlatılacağı bir yeri tanımladıkları için biraz keyfi olduğu vurgulanmalıdır. Ancak, verilen sonuçları diğer yinelemeli yöntemlerle karşılaştırabileceğiz.

Matrisin en büyük büyüklüğe sahip elemanı δR33 = 1.5’tir. Artık gevşeme vektörünün elemanlarını denkleme göre hesaplayabilir ve çözüm vektörünü denklemdeki gibi değiştirebiliriz. Bu işlemi tekrarlayarak sonuca ulaşıyoruz.

Çözümün gerçekten de Gauss yöntemi ile Gauss-Seidel yönteminin elde ettiği arasında orta bir oranda yakınsadığını görüyoruz. Gevşetme tekniklerinin bu uygulaması, çözüm yakınsadıkça gevşeme vektörünün sıfıra yaklaşmasına izin verir.

Başka bir yaklaşım, Gauss-Seidel gibi başka bir iterasyon şeması tarafından verilen düzeltmeyi değiştirmek için gevşetme parametresini kullanmaktır. Bu koşullar altında, düzeltmeler sıfıra yaklaşırken seçilen ve genellikle sabit tutulan gevşeme parametresidir.

Gevşeme parametresi için uygun değerlere ulaşmanın birçok yolu vardır, ancak sonuç genellikle aralığında olacaktır. ρ<1⁄2 değerleri için, yakınsama oranı o kadar yavaştır ki, çözümün ne zaman elde edildiğinden emin olunamaz.

Nadir durumlarda birden büyük bir gevşeme parametresi seçilebilir. Böyle bir prosedürün aşırı gevşek olduğu ve istikrarsız hale gelmesi muhtemel olduğu söylenir. ρ ≥ 2 ise, istikrarsızlık neredeyse garanti edilir. Yakınsama hakkında çok şey söyledik, ancak nicel olan çok az şey söyledik, bu nedenle sabit nokta yineleme teorisinin sınırları içinde yakınsama hakkında kısa bir tartışmaya dönelim.

Sabit nokta iterasyonu
Banach sabit nokta teoremi
Sabit nokta iterasyonu soru çözümü
Sabit nokta Teorisi Ders notları
Sabit nokta teoremi
Sayısal Analiz Sabit nokta iterasyonu
Banach sabit nokta teoremi ispatı
Fixed point iteration

Yakınsama ve Sabit Nokta İterasyon Teorisi

Bir denklem sisteminin doğru sayısal çözümüne ne zaman ulaşılacağına karar verme sorunları, yinelemeli yöntemler için doğrudan yöntemlerden biraz daha karmaşıktır.

Neyin yeterince doğru bir çözümü oluşturduğuna dair pratik problemin ele alınmasının yanı sıra yineleme yönteminin bu çözüme yaklaşıp yaklaşmadığı probleminin de çözülmesi gerekir.

Yineleme yöntemi kesinlikle yeni bir çözüm kümesi üretecektir, ancak bu kümenin doğru kümeye daha yakın olup olmadığı hemen belli değildir. Ancak, bu soruna biraz yardım için sabit nokta yineleme teorisine bakabiliriz.

Gevşeme teorisi ile bağlantılı geniş bir bilgi kütlesi olduğu gibi, sabit nokta yineleme teorisi ile ilgili eşit derecede büyük bir bilgi kütlesi vardır. Gauss yineleme şeması gibi birçok değişkenin yineleme yöntemlerine bakmadan önce, sadece bir değişkenin çok daha basit bir yineleme şemasını ele alalım.

Eğer Φ(x), x0 sabit noktasına yaklaşan sabit bir x değerleri dizisi sağlıyorsa, bunun yakınsak yinelemeli bir fonksiyon olduğu söylenebilir. Φ(x)’in yakınsak yinelemeli bir fonksiyon olması için gerekli ve yeterli bir koşul olduğunu belirten az bilinen bir teorem vardır.

Yakınsama sürecinin, denklem sisteminde bulunan köşegen elemanların boyutundan güçlü bir şekilde etkilendiği açıktır. Bu nedenle, denklemler başlangıçta, katsayı matrisinin ana köşegeninde mümkün olan en büyük elemanlar bulunacak şekilde düzenlenmelidir.

Denklemler doğrusal olduğundan, denklemde verilen yeterli koşul, bir denklem sisteminin Gauss yineleme şeması altındaki yakınsamasının çözümden ve dolayısıyla ilk tahminden bağımsız olduğu anlamına gelir.

Denklem sağlanırsa, Gauss yineleme yönteminin yakınsaması garanti edilir. Ancak, bu yakınsamayı elde etmek için gereken yineleme sayısı yine de ilk tahminin doğruluğuna bağlı olacaktır. Bu koşulları doğrudan çözüm yöntemlerini göstermek için kullandığımız denklemlere uygularsak, bunu buluruz.

Her denklem, denklemde verilen yeterli yakınsama kriterlerini karşılamıyor. Bu nedenle, bu denklemlerin çoğu yinelemeli teknikle çözülmesi olası değildir.

Hotelling ve Bodewig’in yönteminin önemli ölçüde geliştirilmiş bir çözüm sağlaması, bu yöntemin kararlılığının bir kanıtıdır. Ancak, Hotelling ve Bodewig’in yönteminin yinelemeli bir şekilde kullanılmasının amaçlanmadığı unutulmamalıdır, bu nedenle yinelemeli tekniklerin bununla karşılaştırılması tamamen haklı değildir.

Denklem tarafından verilen yeterli yakınsama kriteri, esas olarak, her satırın köşegen dışı elemanlarının mutlak değerlerinin toplamı, köşegen elemanın mutlak değerinden küçükse, o zaman yineleme dizisinin yakınsayacağını söyler.

Bunun ve Gauss Seidel Şemasının yakınsaması için gerekli ve yeterli koşul, matrisin özdeğerlerinin hepsinin pozitif ve birden küçük olmasıdır. Bu nedenle, özdeğerlerin ne olduğunu, bilim için önemini ve nasıl elde edilebileceğini tanımlamak için biraz zaman ayırmamız uygun olacaktır.

The post Sabit Nokta İterasyon Teorisi – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti first appeared on Ödev - Tez - Proje Hazırlatma Merkezi.