Doğrusal olmayan f(aj,x) fonksiyonuna aj’deki bir Taylor serisi ile yaklaşmayı düşünelim. Çözüme yakın olduğumuz ölçüde, bunun iyi sonuçlar vermesi gerekir. f(aj,x)’in çok değişkenli açılımı 0, en küçük kareler katsayılarının mevcut değerleri aj civarındadır.

χ2’de açıkça lineerdir. Dolayısıyla bu sonuç, χ2’nin minimum değerinde δak’ın sıfır olması koşuluyla χ2 hiperyüzeyine parabolik bir uyumu temsil eder.

Denklemlerin çözümü, χ2 hiper yüzeyinin minimumunun yerini, minimumun bir parabolik hiper yüzey tarafından yerel olarak iyi bir şekilde tahmin edilebildiği ölçüde sağlar. Bu kesinlikle en dik iniş yönteminin başarısız olduğu çözüme yaklaştığımızda geçerli olacaktır.

Normal denklemlerin sabit vektörünün, denklemde verilen gradyan bileşenlerinin sadece yarısı olduğunu belirtmekte fayda var. Bu nedenle, bu yaklaşımı en dik iniş yöntemiyle birleştirmemiz mantıklı görünüyor.

Buna bir yaklaşım Marquardt4 tarafından verilmektedir. Mesafe konusunda biraz keyfi olduğumuz için, gradyanı tek bir adımda takip edecektik, böylece denklemlerin köşegen öğelerini değiştirebilirdik.

Geriye kalan tek şey, λ’yı seçmek için bir algoritma bulmaktır. Küçük λ değerleri için, yöntem δak için birinci dereceden yönteme yaklaşır. Bu nedenle λ küçük seçeceğiz (yaklaşık 10-3 diyelim) böylece δak’lar denklemlerin çözümü tarafından verilir. Bu çözümü χ2’yi yeniden hesaplamak için kullanabiliriz.

Ardından λ’yı 10 kat artırın ve adımı tekrarlayın. Ancak, koşul başarısız olursa ve χ2 değeri düşüyorsa, λ’yı 10 kat azaltın, yeni ak değerlerini kabul edin ve devam edin. Bu, analitik uydurma prosedürünün en iyi çalıştığı yerde – çözüme yakın – kullanılmasına izin verir ve minimumdan çok uzakta daha güvenilir bir yanıt vereceği yerde en dik iniş yöntemini kullanır. Hala çözümümüzün doğruluğunu belirlememiz gerekiyor.

En Küçük Kareler Katsayılarının Hataları

Doğrusal olmayan durum için hata analizinin inanılmaz derecede basit olduğu ortaya çıktı. Doğru, yaptığımız varsayımlara bazı ek varsayımlar yapmak zorunda kalacağız, ancak bunlar makul varsayımlardır. İlk olarak, minimuma ulaştığımızı varsaymalıyız. Bazen minimumun ne olduğu net değildir.

Örneğin, χ2 hiper uzayındaki minimum, tek tip derinlikli bir vadi ile tanımlanıyorsa, o zaman çözüm benzersiz değildir, çünkü bir değişkenin geniş bir aralığı χ2’yi en aza indirecektir. Bu değişkendeki hata büyüktür ve en az vadi uzunluğu kadardır.

Önerdiğimiz yöntem, yaklaştırma χ2 hiperyüzeyiyle tam olarak eşleştiğinde aj’nin biçimsel hatalarına güvenilir yanıtlar verirken, eşleşmediğinde hatalar güvenilmez olacaktır. Hata tahmini, δaj’daki yaklaşım fonksiyonunun doğrusallığına dayanır.

δaj’ı üreten doğrusal en küçük kareler çözümünün amaçları doğrultusunda, aj0 başlangıç değeri hatasız bir sabittir. Böylece doğru çözüme ulaştığımızda, δaj için hata tahminleri aj’nin kendisindeki hata için tahmin sağlayacaktır.

Doğrusal yaklaşım Eğitim Bilimleri
Çekirdek yaklaşım nedir
Piramitsel Yaklaşım nedir
Sarmal PROGRAMLAMA yaklaşımı
Çekirdek içerik DÜZENLEME Yaklaşımı
Çekirdek programlama yaklaşımı örnek
İçerik DÜZENLEME YAKLAŞIMLARI
Piramitsel yaklaşım örnek

Dolayısıyla lineer en küçük kareler için geliştirdiğimiz hata analizi burada δaj için ve dolayısıyla aj’nin kendisi için hata tahminlerini bulmak için geçerli olacaktır. Bu yinelemeli yaklaşımların erdemlerinden biridir. Her yinelemenin sonunda tüm geçmiş günahlar unutulur.

Sabit bir noktaya yaklaşan herhangi bir yineleme şeması, bir anlamda gerçek anlamda iyidir. Son adımdaki yaklaşım fonksiyonunun χ2 hiper yüzeyinin doğru bir temsili olduğu ölçüde, doğrusal en küçük karelerin hata analizi, katsayılardaki hataları tahmin etmek amacıyla çözüm hakkında birinci dereceden pertürbasyon analizi yapmaya eşdeğerdir. hiperuzay fonksiyonunun koordinatlarını temsil eder.

Gördüğümüz gibi, bu hata analizini neredeyse hiçbir ek hesaplama maliyeti olmadan gerçekleştirebiliriz. Doğrusal olmayan en küçük kareler için hata tahminlerine uygulanan tüm uyarılar akılda tutulmalıdır.

Yalnızca yaklaşım işlevi hiper uzaya uyduğu sürece doğrudurlar. Bağımsız değişkenin hata dağılımının anti-simetrik olduğu varsayılır. Tüm koşulların karşılanması durumunda, hatalar tam olarak biçimsel hatalar olarak bilinen hatalardır ve parametrelerin minimum hatalarını temsil etmek için alınmalıdır.

Diğer Yaklaşım Normları

Bu noktaya kadar, veri noktalarımıza yaklaşmak veya “uydurmak” için Legendre En Küçük Kareler İlkesini kullandık. Bu, deneysel verilerle veya içsel hatalar içeren diğer veri biçimleriyle ilgili olduğu sürece, En Küçük Kareler normu istatistiksel gerekçelerle gerekçelendirilebilir (hata dağılımı belirli kriterleri karşıladığı sürece).

Bununla birlikte, bir bilgisayar algoritmasının örneğin 0xπ/4 gibi bir x aralığında sin(x) üretmesinin istendiği durumu düşünün. Eğer biri bunu başarabilirse, o zaman çok açılı formüllerden, x’in herhangi bir değeri için sin(x) üretmek mümkündür.

Çok temel bir düzeyde, dijital bilgisayarlar yalnızca aritmetik işlem yaptığından, sin(x) işlevini bu aralıkta doğru bir şekilde temsil etmek için aritmetik olarak hesaplanabilen bir yaklaşıklık işlevi bulunması gerekir.

Ortalama hesaplama hatasının ε’dan küçük olmasını gerektiren bir kriter kabul edilemez. Bunun yerine, hesaplama hatasının her zaman εmax’tan küçük olacağının garanti edilebilmesi istenir. Bunu başaracak yaklaşık bir norm, Chebyschev normu olarak bilinir ve bazen “mini-max” normu olarak adlandırılır. Bir h(x) fonksiyonunun maksimum değerini x’in bir aralığı üzerinden tanımlayalım.

Şimdi, aj’nin bir anlamda “en iyi” yaklaşımı sağlamak üzere ayarlanabilecek bir dizi serbest parametreyi temsil ettiği f(aj,x) ile yaklaşık olarak tahmin etmek istediğimiz bir Y(x) fonksiyonumuz olduğunu varsayalım. Bu iki fonksiyon arasındaki fark h(x) olsun.

Bu norm uygulanarak elde edilen bir dizi ayarlanabilir parametre aj bunu garanti edecektir. ve εmax verilen f(aj,x) fonksiyonu için bulunabilecek en küçük olası değerdir. Bu, araştırmacıya f(x)’in herhangi bir sayısal değerlendirmesinin Y(x)’i εmax miktarı dahilinde temsil edeceğini garanti eder.

Böylece, maksimum hatayı en aza indirerek, tüm aralık boyunca doğruluğu bilinen bir yaklaşım algoritması elde edilir. Bu nedenle bu, bilgisayarlar için yüksek kaliteli işlevsel alt programlar üretenler tarafından kullanılan yaklaşıklık normudur. Rasyonel fonksiyonlar genellikle bu tür bilgisayar algoritmaları için sıradan polinomlar yerine kullanılır.

Bununla birlikte, rasyonel fonksiyonlara yaklaşmada serbest parametreleri belirlemeye yönelik normun ayrıntılı uygulaması bu kitabın kapsamının çok ötesindedir.

The post Doğrusal Yaklaşım – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti first appeared on Ödev - Tez - Proje Hazırlatma Merkezi.