Öğrencilerin orta öğretimden hatırladıkları doğrusal denklemlerin çözümü için genellikle tek yöntemin Cramer kuralı veya küçükler tarafından genişletilmesi de talihsizliktir.

Göreceğimiz gibi, bu yöntem oldukça verimsizdir ve bir bilgisayar için programlanması nispeten zordur. Bununla birlikte, diğer yöntemlerin yargılanabileceği bir tür standart oluşturduğundan, onu burada inceleyeceğiz. [denklem (1.2.10)] 3×3 Matrisin determinantının formunu da vermiştik. Daha genel tanım, A matrisinin determinantının verilebilmesi için tümevarımdır.

Burada toplam, i veya j veya aslında her ikisinin tekdüze artan herhangi bir dizisi üzerinden alınabilir. Mij miktarı, A matrisinin i’inci satır ve j’inci sütunu çıkarılmış determinantıdır ve işareti (-1)(i+j) ile taşınan aij küçük elemanının kofaktörüdür. Tüm bu terminoloji ile determinantı da basitçe yazabiliriz.

Bu, A matrisinin determinantının yanı sıra j’inci sütunun ci sabit vektörünün elemanları ile değiştirildiği artırılmış bir matrisin değerlendirilmesini de gerektirir. Bir n×n matrisinin determinantının değerlendirilmesi yaklaşık 3n2 işlem gerektirir ve bu her bilinmeyen için tekrarlanmalıdır, dolayısıyla çözüm kuralı en az 3n3 işlem gerektirecektir. Ek olarak, doğruluğu korumak için, matris boyunca optimum bir yol (sayısal olarak en az duyarlı kofaktörleri bulmak) önemli miktarda mantık gerektirecektir.

Bu nedenle, Cramer kuralına göre çözüm, lineer denklemlerin sayısal çözümüne bilgisayar veya elle hesaplama için özellikle arzu edilen bir yaklaşım değildir. Doğrusal denklemlerin çözümü için en güvenilir ve kararlı doğrudan yöntemlerden birinin temelini oluşturan daha basit bir algoritmayı ele alalım. Ayrıca matrislerin tersi için bir yöntem sağlar. Yöntemi tanımlayarak ve ardından neden işe yaradığını anlamaya çalışarak başlayalım.

Gauss Eliminasyonu ile Çözüm

Burada xj çözüm vektörünün elemanlarının varlığını bastırdık. Şimdi katsayı matrisi A’nın satırları ve sütunları üzerinde bir dizi işlem gerçekleştireceğiz ve ci sabit vektörünün öğelerini dahil etmek için satır işlemlerini gerçekleştireceğiz.

Başka bir deyişle, satırları gerçekten denklemlermiş gibi ele alacağız, böylece bir öğeye yapılan herhangi bir şey tümüne de yapılmış olacaktır. Sabit eleman dahil olmak üzere her satırı, sıradaki lider elemana bölerek başlar. İlk satır daha sonra tüm alt satırlardan çıkarılır.

Böylece, ilk hariç tüm satırların ilk sütununda sıfır olacaktır. Şimdi bu işlemleri, ikinci denklemin ikinci elemanından başlayarak kalan denklemlerin ikinci sütunundakileri üreterek birinci denklem dışındaki herkes için de tekrarlayın. Ortaya çıkan ikinci satırın tüm alt satırlardan çıkarılması, üçüncü denklemin ilk iki sütununda ve altındaki sıfırları da verecektir.

Bu işlem, son denklemi temsil eden son satıra ulaşılana kadar tekrar edilebilir. Köşegen katsayısı bir olduğunda, sabit vektörün son terimi xn değerini içerir.

Bu, xn-1’i elde etmek için ikinci satırla temsil edilen (n-1)’inci denklemde kullanılabilir ve x1’in değerini verecek olan ilk satıra kadar böyle devam eder. Bu yöntemin adı basitçe, temsil edilen üçgen bir denklem sistemi üreten altındaki denklemlerden her bir bilinmeyenin elenmesinden türemiştir.

Bu yaklaşımın dezavantajlarından biri, ardışık çıkarmalardan kaynaklanan hataların (esas olarak yuvarlama hataları) süreç boyunca oluşması ve xn için son denklemde birikmesidir.

Bu şekilde ortaya çıkan hatalar, yuvarlama hatasının maksimum etkilerini x1’e zorlayan geri ikame işlemiyle daha da büyütülür. Bu süreçte yapılacak basit bir değişiklik, yuvarlama hatasının etkilerini daha eşit bir şekilde dağıtmamıza olanak tanıyarak daha düzgün doğrulukta bir çözüm de sağlar. Ek olarak, A matrisinin tersinin hesaplanması için bize verimli bir mekanizma sağlayacaktır.

Cramer Kuralı 3×3 örnekleri
Cramer yöntemi
Cramer yöntemi formülü
Cramer kuralı örnekleri
Cramer yöntemi nedir
Cramer yöntemi matris
Cramer yöntemi Diferansiyel Denklemler
Cramer yöntemi ile matris çözümü

Bu matrisin elemanlarını ci sabit vektörünün elemanları gibi ele alacağız. Şimdi aşağıdaki sütunlarda ve köşegen elemanın solunda sıfırlar üreten Gauss yok etme yöntemiyle yaptığımız gibi devam edin. Ancak, köşegen elemanı birlik yapılan doğruyu altındakilerden çıkarmanın yanı sıra üstündeki denklemlerden de çıkar.

Bu, karşılık gelen elemanların bire eşitlenmesi ve köşegen elemanın artık birlik olmaması için bu denklemlerin normalleştirilmesini de gerektirecektir.

A matrisinin satırları ve Cr’nin elemanları üzerinde işlem yapmaya ek olarak, başlangıçta bir birim matris olan ek matrisin elemanları üzerinde de işlem yapacağız. Bu işlemleri son satır tamamlanana kadar sıra sıra yapmak, birbirine benzeyen bir denklem sistemi ile baş başa bırakacaktır.

Teoremler ışığında yaptığımız işlemler incelendiğinde, şimdiye kadar orijinal A matrisinin determinantını değiştirmek için hiçbir şey yapmadığımız da açıktır, böylece a’ij öğeleriyle temsil edilen değiştirilmiş matrisin minörler tarafından genişletilmesi basitçe gerçekleştirilir.

Her satırı a’ii’ye bölmenin son adımı, sol taraftaki birim matrisi verecek ve çözüm vektörü xi’nin elemanları, C’i’lerin olduğu yerde bulunacaktır. B’nin son elemanları, A’nın ters matrisinin elemanları olacaktır. Böylece hem denklem sistemini çözdük hem de aynı adımları sabit vektör ve ek bir birim matris üzerinde uygulayarak orijinal matrisin tersini de bulduk.

Bunun neden işe yaradığını görmenin belki de en basit yolu, lineer denklem sistemini ve işlemlerin onlar için ne anlama geldiğini düşünmektir. Tüm işlemler sabit vektör de dahil olmak üzere tüm satırlar üzerinde gerçekleştirildiğinden, çözümün doğasını hiçbir şekilde değiştirmeyecek yasal cebirsel işlemler oluşturdukları açıktır.

Aslında bunlar, uygun değişkenleri eleyerek sistemi çözüyorsa, elle yapılacak işlemlerden başka bir şey değildir. Sistematik bir şekilde yürütülebilmesi için bu prosedürü basitçe resmileştirdik.

Böyle bir prosedür, makine tarafından hesaplamaya uygundur ve nispeten kolayca programlanabilir. Algoritmanın matris tersini vermesinin nedenini anlamak biraz daha zor. Bununla birlikte, A ve B’nin çarpımı, birim matris 1 olacaktır ve bu matris çarpımına giren işlemler, B’yi oluşturmak için kullanılanların tersidir.

The post Cramer Kuralı – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti first appeared on Ödev - Tez - Proje Hazırlatma Merkezi.