Newton ve Leibnitz hesabının fiziksel dünyanın matematiksel tanımına izin veren yönü, türevleri ve integralleri dünyanın çeşitli özelliklerini birbiriyle ilişkilendiren denklemlere dahil etme yeteneğidir.

Bu nedenle, içinde yaşadığımız dünyayı tanımlayan teorilerin çoğu, diferansiyel ve integral denklemler olarak bilinenlerin içinde yer alır. Bu tür denklemler sadece fizik bilimlerinde değil, biyolojide, sosyolojide ve içinde yaşadığımız dünyayı anlamaya çalışan tüm bilimsel disiplinlerde karşımıza çıkıyor.

Sayısız kitap ve tüm eğitim kursları, bu tür denklemlerin çözümünün incelenmesine ayrılmıştır ve bilim ve mühendislik alanındaki çoğu kolej, öğrencilerinden en az bir tane böyle ders istemektedir.

Bu dersler genellikle bu tür denklemlerin analitik kapalı form çözümlerini kapsar. Ancak fiziksel dünyayı yöneten denklemlerin birçoğunun kapalı biçimde bir çözümü yoktur. Bu nedenle, içinde yaşadığımız dünya ile ilgili soruların yanıtını bulmak için bu denklemleri sayısal olarak çözmeye başvurmalıyız.

Yine, bu konudaki literatür ciltler dolusu olduğundan, bu çözümleri bulmakta yaygın olarak kullanılan bazı temel yöntemlere kısa bir giriş yapmayı umabiliriz. Ayrıca, konu hiçbir şekilde kapanmış değildir, bu nedenle öğrenci, giderek daha etkili ve doğru olduğunu kanıtlayan yeni tekniklerin peşinde olmalıdır.

Diferansiyel Denklemlerin Sayısal İntegrasyonu

Bir diferansiyel denklemden bahsettiğimizde, bağımlı değişkenin bir veya daha fazla türevinin yanı sıra göründüğü herhangi bir denklemi kastediyoruz.

Var olan en yüksek türev diferansiyel denklemin sırasını, bağımlı değişkenin veya türevinin denklemde görünen en yüksek kuvveti derecesini belirler.

Diferansiyel denklemleri kullanan teoriler genellikle tek denklemlerle sınırlı olmayacak, ancak tanımladıkları fenomeni temsil eden eşzamanlı denklem takımlarını içerebilir. Bu nedenle, bu tür denklem kümelerinin çözümleri hakkında bir şeyler söylemeliyiz. Aslında, yüksek mertebeden bir diferansiyel denklemi birinci mertebeden diferansiyel denklem sistemine dönüştürmek, bu tür denklemlerin çözümünü bulmak için standart bir yaklaşımdır.

Temel olarak, yüksek mertebeden terimler yeni değişkenlerle değiştirilir ve orijinal denklemin yerini alacak birinci mertebeden eşzamanlı diferansiyel denklemler kümesi oluşturmak için yeni değişkenleri tanımlayan denklemler dahil edilir. Böylece, forma sahip üçüncü dereceden bir diferansiyel denklem söz konusu olur.

Bir sabitin türevinin sıfır olduğu daha en başından hatırlanır. Bu, probleme bazı ek kısıtlamalar getirilmedikçe, birinci mertebeden bir diferansiyel denklemin genel çözümüne bir sabit eklemenin her zaman mümkün olduğu anlamına gelir. Bunlara genellikle entegrasyon sabitleri denir.

Bu sabitler, denklemler homojen olmasa bile mevcut olacaktır ve bu açıdan diferansiyel denklemler fonksiyonel cebirsel denklemlerden önemli ölçüde farklılık gösterir. Bu nedenle, diferansiyel denklemleri içeren bir problemin tam olarak belirtilebilmesi için, mevcut türevlere karşılık gelen sabitlerin önceden verilmesi gerekir.

Sabitlerin doğası (yani türevlerinin sıfır olması), bağımlı değişkenin sabit değerine sahip olduğu bağımsız değişkenin bir değerinin olduğunu ima eder. Böylece, entegrasyon sabitleri yalnızca bir değere sahip olmakla kalmaz, aynı zamanda çözümün bu değere sahip olduğu bir “yere” sahiptirler.

Diferansiyel alma örnekleri
Tam Olmayan Diferansiyel Denklemler integral çarpanı
Diferansiyel integral
Diferansiyel alma kuralları
Matematikte diferansiyel
Diferansiyel ve integral hesap
Diferansiyel ve İntegral hesap 1
İntegral diferansiyel ilişkisi

Bütün integral sabitleri aynı yerde belirtilirse, bunlara başlangıç değerleri, çözüm bulma problemine de başlangıç değer problemi denir. Ayrıca sayısal bir çözüm bulmak için çözümü istenen bağımsız değişkenin aralığı da belirtilmelidir.

Bu aralık, bağımsız değişkenin başlangıç değerini (yani, entegrasyon sabitlerinin belirtildiği konuma karşılık gelen bağımsız değişkenin değerini) içermelidir. Bazen, entegrasyon sabitleri farklı yerlerde belirtilir.

Bu tür problemler, sınır değer problemleri olarak bilinir ve göreceğimiz gibi, bunlar özel bir yaklaşım gerektirir. Öyleyse, adi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümüne ilişkin tartışmamıza, birinci mertebeden başlangıç değerli diferansiyel denklemlerin çözümünü ele alarak başlayalım.

Bir diferansiyel denkleme (veya bir diferansiyel denklemler grubuna) çözüm bulmaya yönelik genel yaklaşım, çözümün başlangıç değerlerine eşit olduğu bağımsız değişkenin değerinden çözüme başlamaktır.

Daha sonra, bağımsız değişkeni değiştirmek ve gerekli aralıkta hareket etmek için adım adım ilerler. Bunu yapmak için çoğu yöntem, çözümün yerel polinom yaklaşımına dayanır ve enterpolasyonla ilgili olan tüm kararlılık problemleri, diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü için bir endişe kaynağı olacaktır.

Ancak, interpolasyondan farklı olarak, bağımsız değişkenin değerlerine ilişkin seçimimizde, bağımlı değişkeni ve onun türevlerini nerede değerlendirebileceğimizle sınırlı değiliz. Böylece çözüm noktaları arasındaki boşluk serbest bir parametre olacaktır. Çözümü bulma sürecini kontrol etmek ve bu hatayı tahmin etmek için bu değişkeni kullanacağız.

Çözüm, bir polinomla yerel olarak yaklaşıklaştırılacağı için, çözümü ve yaklaşıklama polinomunun katsayılarının değerlerini kısıtlamış olacağız. Bu, çözümü bulmada yeni bir adım atmadan önce, bu kısıtlamaları sağlamak için çözüm hakkında ön bilgilere sahip olmamız gerektiği anlamına gelir.

Yalnızca önceki adımdaki çözüme bağlı bir yöntem bulabilseydik, diferansiyel denklemleri çözmenin bu “tavuk veya yumurta” yönü ortadan kalkardı. Ardından, ilk değer(ler) ile başlayabilir ve bağımsız değişkenin ihtiyaç duyduğumuz kadar çok ek değerinde çözümü üretebiliriz. Bu nedenle, tek adımlı yöntemleri dikkate alarak başlayalım.

a’nın bu değeri daha sonra doğrudan x = x0+h’de değerlendirilen denklemin merkez teriminde ikame edilebilir. Denklemin sağ tarafını değerlendirmek imkansız olsa bile a için doğrudan bir değer elde etmek için bölüm 4’teki kareleme formüllerinden herhangi biri kapalı biçimde kullanılabilir. Bununla birlikte, y’nin doğrusal yaklaşımıyla tutarlı bir kesinlik derecesine sahip bir formül kullanılmalıdır.

Bu çözümün hızla değişen doğası, özellikle adım boyutu büyükse, herhangi bir entegrasyon şeması için zorlu bir test sağlayacaktır. Ancak, farklı yöntemlerin göreceli doğruluğunu test edeceksek, tam olarak istediğimiz şey budur.

Burada denklemler, integrali değerlendirmek amacıyla y(z)’nin davranışını belirlemeye yönelik çeşitli yöntemleri temsil eder. Gösterim amacıyla, mantıksız derecede büyük olduğunu bildiğimiz h = 1’i seçelim. Bununla birlikte, böylesine geniş bir seçim, çeşitli seçimlerimizin göreceli doğruluğunu oldukça açık bir şekilde göstermeye hizmet edecektir. Ayrıca, x = 1 ve 2’deki çözümü elde edelim. Naif denklem seçimi, formun bir yineleme formülünü verir.

Bu, tablonun (a) sütunundaki sonuçları elde etmek için doğrudan yinelenebilir, ancak sabit nokta doğrudan elde edilecek y( ∞ )(x0+h) denklemini çözerek bulunabilir. İlk adım için x0 = 0 olduğunda, çözüm için sınır değeri 2’dir. Ancak çözüm ilerledikçe yineleme şeması açıkça kararsız hale gelir.

Son olarak, verilen y(x) için doğrusal yaklaşımın etkisini inceleyebiliriz. Çözümün, denklemin merkez terimi tarafından önerildiği gibi doğrusal davrandığını varsayalım. Bu, denklemde olduğu gibi elde edilen a eğim değeri ve verilen çözüm için açık forma doğrudan ikame edilebilir.

The post Diferansiyel ve İntegral Denklemler – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti first appeared on Ödev - Tez - Proje Hazırlatma Merkezi.