Hangi çözüm için doğrusal form ile yineleme olmadan çözümü verir. Sonuçlar sütun (c)’de listelenmiştir. Denklemin sağ tarafının denklemde kapalı biçimde entegre edilmesinin, denklem yardımıyla elde edilenden daha kesin bir cevap vereceğini düşünmek cazip gelebilir, ancak durum böyle değildir.

Bu şekilde geliştirilen yineleme formülü, sütun (c)’deki sonuçların tam olarak elde edilmesi için denklemlerde yapıldığı gibi analitik olarak yinelenebilir. Böylece doğrusal bir Picard’ın yöntemiyle umulabilecek en iyi şey, belirtilen eğim a ile verilir.

Ancak, tek adımlı yöntemler bulmaya yönelik başka bir yaklaşım daha vardır. Diferansiyel denklem, başlangıç değerine bağlı olarak tam bir çözüm ailesine sahiptir (yani, adımın başındaki çözüm). Bu çözüm ailesi, g(x,y)’nin doğası tarafından sınırlandırılmıştır.

Bu ailenin x = x0+h komşuluğundaki davranışı, x = x0+h’deki çözümün doğasına biraz ışık tutabilir. Bu, Runge-Kutta yöntemi olarak bilinen daha başarılı ve yaygın olarak kullanılan tek adımlı yöntemlerden birinin temel temelidir.

Runge-Kutta yöntemi ayrıca sayısal analizde doğrudan polinom yaklaşımına dayanmayan birkaç yöntemden biridir, çünkü polinomlar için kesinlikle doğru olsa da, temel yöntem çözümün temsil edilebileceğini varsayar.

Şimdi α’nın k+1 değerlerini, μ’nin k değerlerini ve λi,j’nin k×(k+1)/2 değerlerini belirlemeliyiz. Ancak, kısıt olarak hareket etmek için Taylor serisinin yalnızca k+1 terimine sahibiz. Bu nedenle, sorun umutsuzca yeterince belirlenmemiştir. Böylece belirsizlik, herhangi bir k mertebesi için tüm Runge-Kutta formül ailelerine yol açacaktır.

Ek olarak, mümkün olduğu kadar çok bilinmeyeni ortadan kaldırmak için cebir oldukça zorludur ve problemin belirsiz doğası nedeniyle benzersiz değildir. Bu nedenle, yalnızca sorunun temel yaklaşımını ve doğasını gösteren düşük dereceli formüllerle uğraşmakla yetineceğiz. Runge-Kutta yönteminin genel yönleri hakkında fikir veren en düşük sırayı ele alalım.

Burada sadece bir tane olacağı için λ’nın alt indisini düşürdük. Bununla birlikte, hala dört serbest parametre var ve gerçekten sadece üç kısıtlama denklemimiz var.

Daha önce önerdiğimiz gibi, formül bir kısıtlama tarafından eksik belirlenir. Bununla birlikte, serbest parametreleri tek bir c sabiti cinsinden ifade etmek için denklemle temsil edilen kısıtlama denklemlerini kullanabiliriz.

Açıkçası, c’nin en etkili seçimi çözüme bağlı olacaktır, bu nedenle genel bir “en iyi” seçenek yoktur. Bununla birlikte, bazı yazarlar genel amaç değeri olarak c = 1⁄2’yi önermektedir.

Serideki terim sayısını artırırsak, sabitlerin eksik belirlenmesi hızla kötüleşir. Giderek daha fazla parametre keyfi olarak seçilmelidir. Bu formüller verildiğinde, keyfilik genellikle emirle ortadan kaldırılmıştır. Böylece aynı düzende çeşitli Runge-Kutta formülleri bulunabilir. Örneğin, yaygın bir dördüncü dereceden formül söz konusu olabilir.

Burada, yeterince belirlenmemiş parametreler için “en iyi” seçim zaten büyük ölçüde deneyime dayalı olarak yapılmıştır. Bu formülleri test diferansiyel denklemimize uygularsak, önce hangi Runge-Kutta formülünü kullanmayı planladığımızı belirtmemiz gerekir. C = 1⁄2 olduğunda denklem tarafından verilen sabitlerin seçimi ile denklem tarafından verilen ikinci dereceden (yani ikinci dereceden polinomlar için tam) formülü deneyelim.

Runge-Kutta formülü, çözümü sistematik bir şekilde olduğundan az tahmin etme eğilimindedir. Adım boyutunu h = 1⁄2’ye düşürürsek, bu formüldeki hata terimi O(h3) olduğu için uyum çok daha iyidir. h = 1⁄2 için sonuçlar, h = 1 için sonuçlarla birlikte tablo 5.2’de verilmiştir. Ek olarak, denklem (5.1.33) ile verilen dördüncü dereceden formül için sonuçları tablolaştırdık. Örneğimiz için, ilk adım denklemin (5.1.33) şeklini almasını gerektirecektir.

Tekil değer Ayrışımı
Lineer Cebir : Baz soruları
Baz Değişimi lineer cebir
Lineer Cebir matris Soruları
Lineer Cebir Taban bulma
Lineer Cebir Soruları
Lineer Cebir Vektör Uzayları Soru ve çözümleri
Lineer Cebir Matris

Bu formülün hata terimi O(h5)’tir, dolayısıyla h = 1⁄2 için ikinci dereceden formülden daha üstün olmasını bekleriz ve gerçekten de öyledir. Bu sonuçlar, adım boyutunu azaltmaktansa entegrasyon formülünün doğruluğunu artırarak bir çözümün doğruluğunu artırmanın genellikle tercih edildiğini göstermektedir.

Yuvarlama hatasını ortadan kaldırmak için önde gelen hesaplamalar büyük ölçüde kesirli aritmetik kullanılarak yapılmıştır. Yuvarlama hatasının etkileri genellikle öyledir ki, küçültülmüş adım boyutuna uyması için uygun şekilde artırılmış doğruluk sağlayan bir entegrasyon formülünden çok, küçültülmüş bir adım boyutu için daha ciddidir. Bu, entegrasyon formülünün yaklaşık doğruluğunu iyileştirerek çözüm doğruluğunu iyileştirme gerekliliğini vurgulamaktadır.

Runge-Kutta tipi şemalar, uygulamaları oldukça basit olduğundan ve oldukça kararlı olma eğiliminde olduklarından büyük popülerliğe sahiptir. En büyük çekicilikleri, tek adımlı yöntemler olmaları gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Bir sonraki adımda çözümü tahmin etmek için yalnızca önceki adımdaki fonksiyonla ilgili bilgi gereklidir.

Bu nedenle, aralığın sınırındaki ilk değerden başlayarak bir çözüm başlatmada son derece faydalıdırlar. Yöntemlerin en büyük dezavantajı göreceli etkinlikleridir. Örneğin, dördüncü dereceden şema, her adımda fonksiyonun dört değerlendirmesini gerektirir. Her adımda işlevin çok daha az değerlendirilmesini gerektiren ve yine de daha yüksek bir mertebeye sahip başka yöntemler olduğunu göreceğiz.

Hata Tahmini ve Adım Boyutu Kontrolü

Bir diferansiyel denklemin sayısal çözümü, doğruluğuna dair bir tahmin yoksa çok az işe yarar. Bununla birlikte, denklemden de anlaşılacağı gibi, kesme hatasının resmi tahmini genellikle çözümü bulmaktan daha zordur.

Ne yazık ki, diferansiyel denklemleri içeren çoğu problem için kesme hatası, çözümü taklit etme eğilimindedir. Yani, çözüm monoton bir şekilde artıyorsa mutlak kesme hatası da artacaktır.

Tekdüze azalan çözümler bile, aynı işareti koruyan ve çözüm ilerledikçe biriken kesme hatalarına sahip olma eğiliminde olacaktır. Kesme hatalarının salınımlı çözümler üzerindeki ortak etkisi, çözüme bir “faz kayması” getirmektir. Kesme hatasının etkisi sistematik olma eğiliminde olduğundan, büyüklüğünü tahmin etmek için bir yöntem olmalıdır.

Kesme hatasının biçimsel ifadesi genellikle oldukça zorlu olsa da, bu tür ifadeler her zaman adım boyutuna bağlıdır. Bu nedenle, hatanın büyüklüğünü tahmin etmek için h adım boyutunu kullanabiliriz. Daha sonra adım boyutunu ayarlamak için bu tahmini ve kabul edilebilir en büyük hatanın önsel değerini kullanabiliriz.

Diferansiyel denklemlerin çözümüne yönelik hemen hemen tüm genel algoritmalar, önceden belirlenmiş toleransların karşılanabilmesi için kesme hatasının tahmini ve ardından h adım boyutunun ayarlanması için bir bölüm içerir. Ne yazık ki, bu hata tahmini yöntemleri, her adımda adım boyutunun değişimine dayanacaktır.

Bu genellikle çözümü gerçekleştirmek için gereken süreyi üç katına çıkaracaktır. Ancak, tek bir adımı yapmak için harcanan zamandaki artış, çok daha büyük adımların kullanılabilmesiyle dengelenebilir ve sonuçta genel olarak zaman tasarrufu sağlanır.

Genel doğruluk, adım boyutu azaltılarak keyfi olarak artırılamaz. Bu, kesme hatasını azaltacak olsa da, aynı aralığı kapsamak için gereken hesaplama miktarının artması nedeniyle yuvarlama hatasının etkilerini artıracaktır. Bu nedenle, önsel hata toleransını düşük olarak ayarlamak istemez veya yuvarlama hatası çözümün geçerliliğini yok edebilir.

O halde ideal olarak, çözüm yavaş değişirken oldukça büyük adım boyutlarıyla (yani h değerleri) ilerlemesini ve çözüm hızla değişmeye başladığında adım boyutunu otomatik olarak küçültmesini isteriz. Bunu akılda tutarak, kesme hatasında ayarlanan toleranslardan adım boyutunu nasıl kontrol edebileceğimizi görelim.

Yukarıda tartışılan tek adımlı yöntemler veya takip eden çok adımlı yöntemler verildiğinde, bir xn noktasında yn çözümünü belirlediğimizi varsayalım. xn+1’in çözümündeki bir sonraki adımı h miktarı kadar atmak üzereyiz ve yn+1’deki kesme hatasını tahmin etmek istiyoruz.

Çözümün bu değerini iki şekilde hesaplayın. İlk olarak, tek bir h adımı atarak xn+1’e ulaşın, ardından (h/2)’nin iki adımını alarak hesaplamayı tekrarlayın. Birinci çözüme y1,n+1 ve ikinciye y2,n+1 diyelim. Şimdi xn+1’deki kesin çözüm (önceki birikmiş hatayı ihmal ederek) her durumda şu şekilde yazılabilir.

The post Doğrusal Formlar – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti first appeared on Ödev - Tez - Proje Hazırlatma Merkezi.