Şimdi, bu kitapta şimdiye kadar tartıştığımız hemen hemen tüm formüllerin ve henüz gelecek olanların geliştirilmesini sağlayan “akıllıca bir numara” üzerinde duracağız. Richardson ekstrapolasyonu olarak bilinir, ancak genellikle ekstrapolasyon ile kastedilenden farklıdır.

İçinde, bazı tahmin formüllerini, bu formülü kısıtlayan veri aralığının ötesine genişletme açısından ekstrapolasyonu tanımladık. Burada, h aralığının sıfıra yaklaştığı yeri sınırlamak için herhangi bir farkın veya farka dayalı formülün sonuçlarına yaklaşmaya çalışan bir işlemi tanımlamak için kullanıyoruz.

h genellikle küçük bir sayı olduğu için, sıfıra uzatma veya ekstrapolasyon o kadar da mantıksız görünmüyor. Aslında, çok önemli görünmeyebilir, ancak neredeyse tüm yaklaşım formüllerindeki doğruluk sınırının, yaklaşık bir aralığın küçüldüğü durumda yuvarlama hatasının etkisiyle belirlendiğini unutmayın.

Bu, bir sonraki bölümde tartışılan diferansiyel denklemlerin sayısal çözümüne ilişkin problemler için özellikle doğru olacaktır. Ancak, klasik fark formüllerinden daha yüksek doğrulukta ve daha yüksek verimle elde edilen türevler için ifadeler elde etmek için burada geliştirebilir ve kullanabiliriz. Bir f(x) fonksiyonunun temsil edilebileceği özel durumu ele alalım.

Denklemin sol tarafındaki fonksiyonel ilişki, değeri tam olarak bilinen bir matematiksel fonksiyon olarak kabul edilirken, sağ taraftaki bu fonksiyon için yaklaşık ilişkidir. Bu ilişki artık sadece h’nin tuhaf güçlerini içeriyor, böylece orijinal Taylor serisinden çok daha hızlı yakınsıyor. Şimdi k = 1 ve 2 için denklemi değerlendirin, böylece sadece ilk iki terimi açıkça sağ tarafta tutun.

Denklemdeki h’ye bölünen hata teriminin O(h4) olduğunu göstermek zor değil. Böylece, fonksiyonun dört değerini gerektiren ve kübik polinomlar için kesin olan, x = x0 değerinde değerlendirilen f(x) fonksiyonunun türevi için bir ifadeye sahibiz.

Bir Taylor serisine veya dönüşümlü olarak bir kübik polinomu sığdırmak için dört serbest parametremiz olduğundan ve bu tür polinomlar benzersiz olacağından, bu çok şaşırtıcı değil. Şaşırtıcı olan, azalan h aralığı ile hızlı yakınsama oranıdır. Ancak daha da şaşırtıcı olanı, bu yöntemin yazılabilen herhangi bir yaklaşıklık formülüne genelleştirilebilmesidir.

Aslında, daha fazla tablo noktası kullanan türev için daha da yüksek mertebeden bir yaklaşım elde etmek için kullanılabilir. Diferansiyel denklemlerin çözümünü düşündüğümüzde bu yöntemi tekrar gözden geçireceğiz.

İntegrallerin Sayısal Değerlendirmesi: Kareleme

Dördünleştirme terimi eski olmasına rağmen, integrallerin sayısal değerlendirmesini tanımlamak için doğru terimdir. Sayısal entegrasyon terimi, diferansiyel denklemlerin sayısal çözümünü tanımlamak için ayrılmalıdır.

Ayrım için gerçek bir gereklilik var çünkü iki sorunun doğası oldukça farklı. Bir integrali sayısal olarak değerlendirmek oldukça yaygın ve genellikle kararlı bir görevdir. Biri, temel olarak, bir fonksiyonun bir dizi bağımsız değerlendirmesinden tek bir sayıyı bir araya getirmektir. Sayısal farklılaşmanın aksine, sayısal kareleme, rastgele hesaplama hatalarının ortalamasını alma eğilimindedir.

Sayısal karelemenin doğal kararlılığı nedeniyle, öğrencilere genellikle yalnızca en basit teknikler öğretilir ve bu nedenle, integralin integrali son derece karmaşık olduğunda veya bazen bir sonucun sonucu olduğunda çok önemli olabilecek daha karmaşık, yüksek verimli teknikleri öğrenmede başarısız olurlar.

simpson 1/3 kuralı örnekleri
simpson 1/3 kuralı formülü
Trapez Kuralı
simpson 3/8 kuralı
Simpson kuralı
Sayısal integral

Neredeyse tüm sayısal kareleme şemaları, polinom yaklaşımı kavramına dayanmaktadır. Spesifik olarak, integrand n derecesine sahip bir polinom ise, kareleme şeması integralin tam değerini verecektir.

Daha sonra şemanın n’ye eşit bir kesinlik derecesine sahip olduğu söylenir. Genel olarak, n’inci dereceden bir polinomun n+1 lineer bağımsız katsayıya sahip olması nedeniyle, polinomu ve integralini doğru bir şekilde temsil etmek için bir kareleme şemasının n+1 ayarlanabilir parametreye sahip olması gerekir.

Nadiren, ayarlanabilir parametre sayısından daha büyük bir kesinlik derecesine sahip bir kareleme şemasıyla karşılaşılır. Böyle bir şemanın hiper verimli olduğu söylenir ve çoklu integraller için bilinen bu tür birkaç şema vardır. Tek veya tek boyutlu integraller için, daha sonra tartışacağımız yalnızca bir tane vardır.

Yamuk Kuralı

Bir integrali değerlendirme kavramı, temel olarak bir toplamı değerlendirme kavramıdır. Sonuçta integral işareti ∫, sürekli bir “toplam” anlamına gelen stilize bir S’dir. Denklemde tanıtıldığı şekliyle Σ sembolü, aralık yeterince küçük alınırsa integralin değerine yaklaşacak olan ayrık veya sonlu bir toplamı temsil eder. Yamuk kuralı için ifade edilebilecek motivasyon budur.

Formül, her biri bir tür ağırlık Wi ile çarpılmış olan, fonksiyonun ayrı bir ortalama değerleri kümesinin toplamı şeklini alır. Burada ağırlıklar, dördün formülünün ayarlanabilir parametrelerinin rolünü oynar ve yamuk kuralı durumunda ağırlıklar basitçe fonksiyonel değerlendirmeler arasındaki aralıklardır. Bunun grafiksel bir gösterimi görülebilir.

Denklemle ifade edilen kuralın anlamı, integralin, ∆xi aralığındaki üst sınırları düz çizgiler olan bir yamuk dizisi tarafından yaklaşık olarak tahmin edilmesidir. Her aralıkta, bu formül 1’e eşit bir kesinlik derecesine sahip olacaktır (yani, eksi bir aralığındaki serbest parametre sayısına eşit).

Diğer “ayarlanabilir” parametre, aralıktaki f(xi)’nin ortalamasının elde edilmesinde kullanılan 2’dir. a → b aralığını eşit olarak bölersek, ∆xi’ler özellikle basit forma sahip olur. (b-a)/2 faktörünü ağırlıklara sokarsak, bunu integral denklemin her iki gösterimi için de görürüz.

f(x) fonksiyonunun ağırlıkların belirlenmesinde kesinlikle hiçbir rolü olmadığına dikkat edin, böylece ağırlıklar belirlendikten sonra; herhangi bir fonksiyonun karelenmesi için kullanılabilirler. Sıfırdan bir dereceye kadar polinomlar için kesin olan herhangi bir kareleme formülünün f(x) = x0 için kesin olması gerektiğinden, herhangi bir kareleme şemasının ağırlıklarının toplamı, formülün geçerli olduğu toplam aralığa eşit olmalıdır.

Simpson Kuralı

Yamuk kuralı, aralıktaki fonksiyona düz çizgiler uydurduğu için 1 kesinlik derecesine sahiptir. Görünüşe göre fonksiyona daha yüksek dereceli bir polinom uydurarak bundan daha iyisini yapabiliriz. Dolayısıyla, fonksiyonu düz bir çizgi ile temsil etmek için aralığın uç noktalarındaki fonksiyonel değerleri kullanmak yerine, eşit aralıklı üç nokta deneyelim.

Bu, üç ayarlanabilir parametreli (yani bir parabol) bir polinomu sığdırmamıza ve 2 hassasiyet derecesine sahip bir kareleme formülü elde etmemize izin vermelidir. Ancak, bu kareleme formülünün aslında 3 hassasiyet derecesine sahip olduğunu ve onu bir hiper-verimli kareleme formülü ve tek boyutlu integraller için bilinen tek formüldür.

The post İntegrallerin Sayısal Değerlendirmesi – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti first appeared on Ödev - Tez - Proje Hazırlatma Merkezi.