Denklemlerin basit sonucunu elde etmek için verileri tanımlamak için ortogonal bir fonksiyonlar kümesi φj(x) kullanma süreci Legendre yaklaşımı olarak bilinir. Veri miktarı çok büyük olduğunda ve tüm normal denklem setini oluşturma ve çözme süreci çok zaman alıcı olduğunda, bu oldukça faydalıdır.

Hatta bazı durumlarda, büyük bir normal denklem sisteminin çözümünün, Legendre yaklaşımının kullanımında ortaya çıkandan daha büyük yuvarlama hatası getirmesi bile mümkündür. Kesinlikle denklemlerin değerlendirilmesi için gerekli işlem sayısı veya (n+1)N mertebesindedir, normal denklemlerin kendileri ise (n+1)2(N+n+) mertebesindedir. 1) işlemler gereklidir.

Bir En Küçük Kareler çözümünü gerçekleştirmek için gereken süre konusunda her zaman dikkatli olunmalıdır. Hızla büyüme ve en hızlı bilgisayarlar için bile kontrolden çıkma gibi bir huyu vardır. N’nin 102 mertebesinde olabileceği ve N’nin kolayca 106’ya ulaşabileceği birçok problem vardır.

Legendre yaklaşımı bile çözümün tamamlanması için 108 işlem gerektirirken, normal denklemlerin tam çözümü için 1010 işlemin gerçekleştirilmesi gerekir. Mevcut megaflop makineler için Legendre yaklaşımı yalnızca birkaç dakika sürerken, tam çözüm birkaç saat alacaktır.

Bu örnekten çok daha büyük sorunlar var. n veya N’yi bir büyüklük sırasına göre artırmak, daha hızlı bir yaklaşım kullanılamadığı sürece hesaplama açısından engelleyici sorunlara yol açabilir. En verimli yaklaşım algoritmalarından birinin kökenini anlamak için, en küçük kareler ile Fourier analizi arasındaki ilişkiyi ele alalım.

En Küçük Kareler, Fourier Serisi ve Fourier Dönüşümleri

Bu bölümde, en küçük kareler ilkesi ile Fourier serileri arasındaki ilişkiyi açıkça inceleyeceğiz. Daha sonra Fourier serisi kavramını Fourier integraline ve son olarak da bir fonksiyonun Fourier dönüşümüne genişleteceğiz. Son olarak, ayrık bir Fourier dönüşümünü sayısal olarak değerlendirmek için son derece verimli bir algoritmanın temelini açıklayacağız.

En Küçük Kareler, Legendre Yaklaşımı ve Fourier Serisi

İçinde, sinüs ve kosinüs trigonometrik fonksiyonlarının 0 → +1 aralığında ortonormal kümeler oluşturduğunu, yalnızca sürekli x aralığı için değil, aynı zamanda ayrık bir x kümesi için de kaydettik.
değerler eşit aralıklı olduğu sürece değerler. Denklem bunu belirtir.

Burada x’i daha tanıdık -1 ≤ -x ≤+1 aralığına dönüştürdük. Şimdi, temel fonksiyonların cos(jπx) veya sin(jπx) olması ve veri noktalarının ikinci denkleme göre aralıklı olması durumunda oluşturulacak normal denklemleri düşünün.

Fonksiyonel kümeler ortonormal olduğundan, Legendre yaklaşımını kullanabilir ve sinüs ve kosinüs serilerinin katsayıları olacak şekilde hemen denklem tarafından verilen çözüme gidebiliriz.

Bu trigonometrik fonksiyonlar aralıkta kesinlikle ortogonal olduğundan, veri noktaları eşit aralıklı olduğu sürece, Legendre yaklaşımı bir yaklaşım değildir. Bu nedenle denklemlerdeki eşittir işaretleri kesinlikle doğrudur. Eşit aralıklı verilere ve sürekli değişkene göre trigonometrik fonksiyonların ortogonalliği, denklemdeki toplamları integralle değiştirebileceğimiz anlamına gelir.

Denklemin verdiği serinin anlamı üzerinde düşünmek için bir an duralım. f(x) fonksiyonu, periyodik fonksiyonların doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilir. Bu fonksiyonların katsayıları, fonksiyonun aralık boyunca periyodik olarak ağırlıklı davranışı tarafından belirlenir.

ak ve bk katsayıları, fonksiyonun (1/πk) periyodundaki periyodik davranışını basitçe ölçer. Böylece, bir Fourier serisi, kendi periyodik davranışı açısından bir fonksiyonu temsil eder.

Sanki fonksiyon, belirli bir periyodik davranış sergileyen parçalara ayrılmış ve daha sonra her bir parçanın göreli gücünün doğrusal bir kombinasyonu olarak yeniden bir araya getirilmiş gibidir. Katsayılar o zaman sadece ilgili katkılarının ağırlıklarıdır. Bu, hem ayrık hem de sürekli sonlu aralık için trigonometrik fonksiyonların ortogonalliğinin bir sonucu olarak gerçekleştirilir.

En Küçük Kareler ve Legendre yaklaşımının doğrudan sonlu bir Fourier serisinin katsayılarına götürdüğünü gördük. Bu sonuç, veriler eşit aralıklı olmadığında seri yaklaşımı için acil bir çözüm önerir. Yani, Legendre yaklaşımını kullanmayın, normal denklemlerin köşegen dışı terimlerini koruyun ve tüm sistemi çözün.

N ve n, hesaplama limitleri oluşturacak kadar büyük olmadığı sürece, bu, eşit olmayan aralıklı veri problemiyle başa çıkmak için tamamen kabul edilebilir ve titiz bir algoritmadır. Ancak, veri miktarının (N) büyük olması durumunda, verimli veri analizine yol açabilecek bir gelişme daha vardır.

Ortogonal fonksiyonlar ne demek
Ortogonal Nedir
Gamma fonksiyonu
Gama fonksiyonu örnekleri
Parçalı fonksiyon Fourier serisi

Fourier İntegrali

Yukarıda tartıştığımız işlevler –1 → +1 aralığıyla sınırlıydı. Ancak, eğer fonksiyonlar oldukça genel bazı koşulları karşılıyorsa, o zaman seri yaklaşımını bu aralığın ötesine genişletebiliriz. Bu koşullar, fonksiyonun Dirichlet teoremini karşılaması olan Dirichlet koşulları olarak bilinir. Bu teorem belirtiyor.

f(x)’in iyi tanımlandığını ve -π –  x  +π aralığında sonlu sayıda maksimum, minimum ve süreksizliklerle sınırlandığını varsayalım. f(x) bu bölgenin ötesinde f(x+2π) = f(x) ile tanımlansın. O zaman f(x) için Fourier serisi tüm x’ler için mutlak olarak yakınsar.

Bunların bir Fourier serisinin yakınsaması için yeterli koşullar olduğu, ancak gerekli koşullar olmadığı belirtilmelidir. Bununla birlikte, bilimde ortaya çıkması beklenebilecek hemen hemen tüm işlevleri kapsayan çok geniş bir dizi işlevi içerecek kadar yeterince geneldirler. Fourier serisi kavramını -1 → +1 aralığının ötesine genişletmek için bu koşulları kullanabiliriz.

Burada aynı anda iki şey yaptık. İlk olarak, sonlu bir Fourier serisinden yakınsak olduğu varsayılan sonsuz bir seriye geçtik. (yani, Dirichlet koşulları karşılanmıştır). İkincisi, ak’ları ve bk’leri dizi terimlerine açıkça dahil ettik.

Böylece, işlevi kendisi açısından, daha doğrusu periyodik davranışı açısından temsil etmiş olduk. Şimdi sonsuz toplama serisinin sınırlayıcı bir integral biçimine geçmesine izin vermek istiyoruz. Ancak burada serinin terimlerinin neyi temsil ettiğini hatırlamaya dikkat etmeliyiz. Fourier serisindeki her terim, belirli bir periyot veya frekanstaki periyodik davranışının işlevine katkısını oluşturur.

Böylece seri için integral limitine geçtiğimizde integrand fonksiyonun frekans bağımlılığını ölçecektir. İntegrand’ın kendisi, fonksiyonun kendisinin uzayda bir integralini içerecektir. Böylece bu süreç, fonksiyonun temsilini frekanstaki davranışından uzaydaki davranışına dönüştürecektir. Böyle bir dönüşüm, Fourier Dönüşümü olarak bilinir.

The post Ortogonal Fonksiyon – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti first appeared on Ödev - Tez - Proje Hazırlatma Merkezi.

Polinomlarla ilgili bu bölümü bitirmeden önce, ortogonal polinomlar olarak bilinen özel ama çok önemli bir polinom sınıfını tartışmamız uygun olacaktır. Ortogonal polinomlar, birbirlerine göre ve bağımsız değişkenin önceden belirlenmiş bir aralığı boyunca davranışları açısından tanımlanır.

Bu nedenle, belirli bir polinomun dikliği önemli bir kavram değildir. Aslında, bu ifade tek başına bir anlam ifade etmez. Ortogonallik kavramı, söz konusu nesnenin ortogonal olduğu bir şeyin varlığını ima eder. Polinomlar söz konusu olduğunda, bu bir şey diğer polinomlar olur.

Bölümde vektörler için diklik kavramını tartıştık ve bir vektörler kümesinin ortogonal olması için kümenin hiçbir öğesinin kümenin diğer üyeleri cinsinden ifade edilemeyeceğini bulduk. Bu aynı zamanda ortogonal polinomlar için de geçerli olacaktır.

Vektörler söz konusu olduğunda, küme tamamlandıysa, bir vektör uzayını kapsadığı söylenir ve bu uzaydaki herhangi bir vektör, ortogonal temel vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edilebilir.

Ortogonallik kavramı iki şeyin birbirine dik olmasına bağlı gibi göründüğünden, f1(x) ve f2(x) fonksiyonlarının her yerde birbirlerine dik olmaları durumunda ortogonal olduklarını söylemek makul görünmektedir.

Her fonksiyonun her noktasında tanımlanmış rt1(x) ve rt2(x) teğet vektörlerini hayal edersek, o zaman denklem (3.3.1)’den f1(x) ve f2(x)’in her bir değerde karşılıklı olarak dik olduğu sonucuna varılabilirse x’in x’in aralığının, her bir x değerinin bir boyutu temsil ettiği ve böylece rt1 (x) vektörlerinin o uzaydaki temel vektörleri temsil ettiği sonsuz boyutlu bir vektör uzayını temsil ettiği düşünülürse, o zaman ortogonallik şu şekilde ifade edilebilir:

Burada, ağırlık fonksiyonu olarak adlandırılan ek bir w(x) fonksiyonu ekledik. Dolayısıyla, doğru ifade, eğer denklem (3.3.4)’ü sağlıyorlarsa, bir w(x) ağırlık fonksiyonuna göre a- x -b aralığında iki fonksiyonun ortonormal olduğu söylenir. Bu bölümde, polinomlar olarak bilinen fonksiyonların alt kümesini ele alacağız.

Denklem (3.3.4)’ten ortonormal polinomların ağırlık fonksiyonu ve x aralığı tarafından tanımlanan kümeler halinde geldiği açıktır. Bu parametreler sonsuz sayıda bu tür küme sağlar, ancak daha önemli olanlardan yalnızca birkaçını tartışacağız. Bağımsız değişkenin aralığını üç farklı kategoriyle karakterize etmeyi nispeten kolay bulsak da, ağırlık fonksiyonu için koşullar çok daha az katıdır. Gerçekten de w(x) üzerindeki tek bir kısıtlama olabilir.

Pozitif olmayan ağırlık fonksiyonları için ortogonal fonksiyonlar bulunabilirken, bunların benzersiz olmadığı ve dolayısıyla iyi tanımlanmadığı ortaya çıkıyor. Ağırlık fonksiyonunu basitçe a-b aralığındaki pozitif tanımlı fonksiyonlarla sınırlamak, yine de sonsuz sayıda bu tür ağırlık fonksiyonlarına ve dolayısıyla sonsuz sayıda ortogonal polinom kümesine izin verir.

Bu tür polinomların nasıl üretilebileceğini görmek için ortogonallik koşullarını kullanarak ortogonal polinomları aramaya başlayalım. Basit olması için, a’dan b’ye sonlu bir aralığı ele alalım.

Ortogonal polinom Nedir
Ortogonal Nedir
Polinom Temel Kavramlar

Şimdi bir ortogonal polinom φi(x), polinomlar kümesinin kendisinden başka her üyesine ortogonal da olacaktır. Ek olarak, polinomların tam bir küme oluşturacağını (kanıtlanabileceğini) varsayacağız, böylece herhangi bir polinom, aynı derecede veya daha az ortogonal polinomların doğrusal bir kombinasyonundan da üretilebilir. Böylece, eğer qi(x) i dereceli keyfi bir polinom ise yazabiliriz.

Ui(x) fonksiyonu, φi(x) polinomlarının üretici fonksiyonu olarak adlandırılır ve kendisi 2i dereceli bir polinomdur, dolayısıyla i’inci türev Ui(i) i’inci dereceli bir polinomdur. Şimdi denklemi (3.3.7) kısım kısım i-kez elde etmek için de entegre edin.

Bu, denklem tarafından verilen 2i sınır koşullarına bağlı olarak 2i+1 mertebesinde bir diferansiyel denklem oluşturur. Çözümü benzersiz bir şekilde belirtmek için gereken geri kalan koşul, φi2(x) birliğinin integralini yapmak için gereken normalizasyon sabitinden gelir. Dolayısıyla bu noktada Ui(x)’i bir ölçek faktörü kadar belirsiz bırakabiliriz. Şimdi bazı özgül ağırlık fonksiyonları w(x) için denklem (3.3.9) tarafından verilen sınır koşullarına bağlı olarak (3.3.10) denkleminin çözümüne de dönelim.

-1’den +1’e kadar sonlu aralığı kapsayan ve üyeleri w(x) = 1 ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan ortogonal polinomlar kümesi, açıkça ortogonal polinomların da en basitidir. Kendimizi böylesine belirli bir aralıkla sınırlamak için gereksiz yere kısıtlayıcı davrandığımız söylenebilir, ancak durum böyle değil. Denklem (3.3.15), formun lineer dönüşümü yoluyla herhangi bir sonlu aralığa da dönüştürülebilir.

Legendre Polinomları

Legendre polinomlarının herhangi bir sonlu aralıkta tanımlanabileceğini belirtmişken, örneğin aralık gibi bir aralığa ulaşmak için gereken doğrusal dönüşüm polinomları etkilemediğinden, farklı şekilde ele alınması gereken üç ayrı aralık olduğundan daha önce de bahsetmiştik.

Burada bunların ikincisine geçiyoruz – 0 ≤ -x ≤ -∞ olan yarı sonsuz aralık. Açıkçası, bu aralığın sınırlarına herhangi bir sonlu aralıktan doğrusal bir dönüşümle de ulaşılamaz.

Bu sonucu elde edecek doğrusal olmayan bir dönüşüm, sonlu aralıkta elde edilen herhangi bir polinomun polinom doğasını da yok edecektir. Ek olarak, x’teki herhangi bir polinom ıraksayarak normalizasyon koşulunu karşılamayı imkansız hale getireceğinden, x olarak asimptotik olarak sıfıra yaklaşan bir ağırlık fonksiyonunu dikkate almamız da gerekecek.

Uzaklaşan bir polinomu x → ∞ olarak sıfıra zorlayacak belki de en basit ağırlık fonksiyonu e-α x’tir. Bu nedenle ortogonal polinomlarımız şeklini de alacaktır.

Hermite Polinomları

Açıkçası, sonlu bir aralıktan veya yarı-sonsuz aralıktan lineer dönüşüm yoluyla ulaşılamayan kalan aralık, tam sonsuz aralıktır -∞ ≤ -x ≤ -+∞. Yine x’te simetrik olması için polinomu her iki uç noktada sıfıra götürecek bir ağırlık fonksiyonuna ihtiyacımız olacak. Böylece yarı-sonsuz aralık için ağırlık fonksiyonu da çalışmaz. Bunun yerine, en basitini de seçiyoruz.

Artık gerçek değişkenin üç temel aralığını kapsayan ortonormal polinom kümeleri de geliştirdik. Diğer ağırlık fonksiyonlarına göre ortogonal olan başka birçok polinom geliştirilebilir, ancak bu polinomlar en önemlileridir ve bilimin her alanında da sıklıkla görülürler.

The post Ortogonal Polinomlar – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti first appeared on Ödev - Tez - Proje Hazırlatma Merkezi.