Ortogonal Fonksiyon – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti

Ortogonal Fonksiyon

Denklemlerin basit sonucunu elde etmek için verileri tanımlamak için ortogonal bir fonksiyonlar kümesi φj(x) kullanma süreci Legendre yaklaşımı olarak bilinir. Veri miktarı çok büyük olduğunda ve tüm normal denklem setini oluşturma ve çözme süreci çok zaman alıcı olduğunda, bu oldukça faydalıdır.

Hatta bazı durumlarda, büyük bir normal denklem sisteminin çözümünün, Legendre yaklaşımının kullanımında ortaya çıkandan daha büyük yuvarlama hatası getirmesi bile mümkündür. Kesinlikle denklemlerin değerlendirilmesi için gerekli işlem sayısı veya (n+1)N mertebesindedir, normal denklemlerin kendileri ise (n+1)2(N+n+) mertebesindedir. 1) işlemler gereklidir.

Bir En Küçük Kareler çözümünü gerçekleştirmek için gereken süre konusunda her zaman dikkatli olunmalıdır. Hızla büyüme ve en hızlı bilgisayarlar için bile kontrolden çıkma gibi bir huyu vardır. N’nin 102 mertebesinde olabileceği ve N’nin kolayca 106’ya ulaşabileceği birçok problem vardır.

Legendre yaklaşımı bile çözümün tamamlanması için 108 işlem gerektirirken, normal denklemlerin tam çözümü için 1010 işlemin gerçekleştirilmesi gerekir. Mevcut megaflop makineler için Legendre yaklaşımı yalnızca birkaç dakika sürerken, tam çözüm birkaç saat alacaktır.

Bu örnekten çok daha büyük sorunlar var. n veya N’yi bir büyüklük sırasına göre artırmak, daha hızlı bir yaklaşım kullanılamadığı sürece hesaplama açısından engelleyici sorunlara yol açabilir. En verimli yaklaşım algoritmalarından birinin kökenini anlamak için, en küçük kareler ile Fourier analizi arasındaki ilişkiyi ele alalım.

En Küçük Kareler, Fourier Serisi ve Fourier Dönüşümleri

Bu bölümde, en küçük kareler ilkesi ile Fourier serileri arasındaki ilişkiyi açıkça inceleyeceğiz. Daha sonra Fourier serisi kavramını Fourier integraline ve son olarak da bir fonksiyonun Fourier dönüşümüne genişleteceğiz. Son olarak, ayrık bir Fourier dönüşümünü sayısal olarak değerlendirmek için son derece verimli bir algoritmanın temelini açıklayacağız.

En Küçük Kareler, Legendre Yaklaşımı ve Fourier Serisi

İçinde, sinüs ve kosinüs trigonometrik fonksiyonlarının 0 → +1 aralığında ortonormal kümeler oluşturduğunu, yalnızca sürekli x aralığı için değil, aynı zamanda ayrık bir x kümesi için de kaydettik.
değerler eşit aralıklı olduğu sürece değerler. Denklem bunu belirtir.

Burada x’i daha tanıdık -1 ≤ -x ≤+1 aralığına dönüştürdük. Şimdi, temel fonksiyonların cos(jπx) veya sin(jπx) olması ve veri noktalarının ikinci denkleme göre aralıklı olması durumunda oluşturulacak normal denklemleri düşünün.

Fonksiyonel kümeler ortonormal olduğundan, Legendre yaklaşımını kullanabilir ve sinüs ve kosinüs serilerinin katsayıları olacak şekilde hemen denklem tarafından verilen çözüme gidebiliriz.

Bu trigonometrik fonksiyonlar aralıkta kesinlikle ortogonal olduğundan, veri noktaları eşit aralıklı olduğu sürece, Legendre yaklaşımı bir yaklaşım değildir. Bu nedenle denklemlerdeki eşittir işaretleri kesinlikle doğrudur. Eşit aralıklı verilere ve sürekli değişkene göre trigonometrik fonksiyonların ortogonalliği, denklemdeki toplamları integralle değiştirebileceğimiz anlamına gelir.

Denklemin verdiği serinin anlamı üzerinde düşünmek için bir an duralım. f(x) fonksiyonu, periyodik fonksiyonların doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilir. Bu fonksiyonların katsayıları, fonksiyonun aralık boyunca periyodik olarak ağırlıklı davranışı tarafından belirlenir.

ak ve bk katsayıları, fonksiyonun (1/πk) periyodundaki periyodik davranışını basitçe ölçer. Böylece, bir Fourier serisi, kendi periyodik davranışı açısından bir fonksiyonu temsil eder.

Sanki fonksiyon, belirli bir periyodik davranış sergileyen parçalara ayrılmış ve daha sonra her bir parçanın göreli gücünün doğrusal bir kombinasyonu olarak yeniden bir araya getirilmiş gibidir. Katsayılar o zaman sadece ilgili katkılarının ağırlıklarıdır. Bu, hem ayrık hem de sürekli sonlu aralık için trigonometrik fonksiyonların ortogonalliğinin bir sonucu olarak gerçekleştirilir.

En Küçük Kareler ve Legendre yaklaşımının doğrudan sonlu bir Fourier serisinin katsayılarına götürdüğünü gördük. Bu sonuç, veriler eşit aralıklı olmadığında seri yaklaşımı için acil bir çözüm önerir. Yani, Legendre yaklaşımını kullanmayın, normal denklemlerin köşegen dışı terimlerini koruyun ve tüm sistemi çözün.

N ve n, hesaplama limitleri oluşturacak kadar büyük olmadığı sürece, bu, eşit olmayan aralıklı veri problemiyle başa çıkmak için tamamen kabul edilebilir ve titiz bir algoritmadır. Ancak, veri miktarının (N) büyük olması durumunda, verimli veri analizine yol açabilecek bir gelişme daha vardır.

Ortogonal fonksiyonlar ne demek
Ortogonal Nedir
Gamma fonksiyonu
Gama fonksiyonu örnekleri
Parçalı fonksiyon Fourier serisi

Fourier İntegrali

Yukarıda tartıştığımız işlevler –1 → +1 aralığıyla sınırlıydı. Ancak, eğer fonksiyonlar oldukça genel bazı koşulları karşılıyorsa, o zaman seri yaklaşımını bu aralığın ötesine genişletebiliriz. Bu koşullar, fonksiyonun Dirichlet teoremini karşılaması olan Dirichlet koşulları olarak bilinir. Bu teorem belirtiyor.

f(x)’in iyi tanımlandığını ve -π –  x  +π aralığında sonlu sayıda maksimum, minimum ve süreksizliklerle sınırlandığını varsayalım. f(x) bu bölgenin ötesinde f(x+2π) = f(x) ile tanımlansın. O zaman f(x) için Fourier serisi tüm x’ler için mutlak olarak yakınsar.

Bunların bir Fourier serisinin yakınsaması için yeterli koşullar olduğu, ancak gerekli koşullar olmadığı belirtilmelidir. Bununla birlikte, bilimde ortaya çıkması beklenebilecek hemen hemen tüm işlevleri kapsayan çok geniş bir dizi işlevi içerecek kadar yeterince geneldirler. Fourier serisi kavramını -1 → +1 aralığının ötesine genişletmek için bu koşulları kullanabiliriz.

Burada aynı anda iki şey yaptık. İlk olarak, sonlu bir Fourier serisinden yakınsak olduğu varsayılan sonsuz bir seriye geçtik. (yani, Dirichlet koşulları karşılanmıştır). İkincisi, ak’ları ve bk’leri dizi terimlerine açıkça dahil ettik.

Böylece, işlevi kendisi açısından, daha doğrusu periyodik davranışı açısından temsil etmiş olduk. Şimdi sonsuz toplama serisinin sınırlayıcı bir integral biçimine geçmesine izin vermek istiyoruz. Ancak burada serinin terimlerinin neyi temsil ettiğini hatırlamaya dikkat etmeliyiz. Fourier serisindeki her terim, belirli bir periyot veya frekanstaki periyodik davranışının işlevine katkısını oluşturur.

Böylece seri için integral limitine geçtiğimizde integrand fonksiyonun frekans bağımlılığını ölçecektir. İntegrand’ın kendisi, fonksiyonun kendisinin uzayda bir integralini içerecektir. Böylece bu süreç, fonksiyonun temsilini frekanstaki davranışından uzaydaki davranışına dönüştürecektir. Böyle bir dönüşüm, Fourier Dönüşümü olarak bilinir.