En Küçük Kareler – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti

En Küçük Kareler

En Küçük Kareler çok geniş bir ilkedir ve matematiğin birçok alanında özel örnekleri vardır. Örneğin, yakınlaştırma fonksiyonları sinüs ve kosinüs ise, En Küçük Kareler Prensibinin bir Fourier serisinin katsayılarının belirlenmesine yol açtığını göreceğiz. Bu nedenle Fourier analizi, En Küçük Kareler’in özel bir durumudur.

En Küçük Kareler ve Fourier analizi arasındaki ilişki, son derece kararlı ve çok büyük veri tabanlarına uygulanabilen Legendre Yaklaşımı olarak bilinen ortogonal polinomları içeren geniş bir yaklaşım algoritmasını önerir. Bunu akılda tutarak, En Küçük Kareler İlkesinin gelişimini birkaç farklı bakış açısından ele alacağız.

Matematikte, bunu yaklaşıklık için “doğru” ölçüt yapan derin bir şey olduğunu hissedenler var. Diğerleri, doğada bunu verileri analiz etmek için uygun kriter yapan bir şey olduğunu düşünüyor.

Sonraki iki bölümde, En Küçük Kareler Prensibinin bir fonksiyonun ayarlanabilir parametrelerinin en olası tahminini sağladığı durumlar olduğunu göreceğiz. Bununla birlikte, genel olarak, en küçük kareler, birçok olası yaklaşım normundan yalnızca biridir. Göreceğimiz gibi, yaklaşıklaştırma fonksiyonunun ayarlanabilir serbest parametrelerinin basit bir şekilde belirlenmesine yol açan özellikle uygundur.

En Küçük Karelerin Normal Denklemleri

Yaklaşık bir f(aj,x) işleviyle temsil edilecek olan N veri noktasının (xi,Yi) bir koleksiyonunu ele alarak başlayalım.

Ayarlanabilir aj parametrelerinin her biri için bu denklemlerden biri vardır, böylece elde edilen sistem (n+1) – N olduğu sürece benzersiz bir şekilde belirlenir. Bu denklemler, problemin normal denklemleri olarak bilinir. Normal denklemlerin doğası, f(aj,x)’in doğası tarafından belirlenecektir.

Yani, aj ayarlanabilir parametrelerinde f(aj,x) doğrusal değilse, normal denklemler doğrusal olmayacaktır. Ancak f(aj,x), polinomlarda olduğu gibi aj’lerde lineer ise, elde edilen denklemler aj’lerde lineer olacaktır. Bu tür denklemlerin çözümünün kolaylığı ve bunlarla ilgili çok sayıda literatür, bunu en küçük kareler konusunun en önemli ve üzerinde biraz zaman harcayacağımız bir yönü haline getiriyor.

Doğrusal En Küçük Kareler

Yaklaştırma işlevinin açıklandığı gibi genel bir polinom biçimine sahip olduğunu düşünün. Yani φk(x), yaygın polinomlar için sadece xk olan temel fonksiyonlardır. Bu fonksiyon, x bağımsız değişkeninde oldukça doğrusal olmayanken, ayarlanabilir serbest parametreler ak’da doğrusaldır.

φj(x) bilindiğinden, A(xi) matrisi bilinir ve yalnızca bağımsız değişkenin belirli değerleri olan xi’ye bağlıdır. Böylece, normal denklemler bölüm 2’de açıklanan yöntemlerden herhangi biri ile çözülebilir ve ayarlanabilir parametreler kümesi belirlenebilir.

Lineer normal denklemlerin kayda değer birçok yönü vardır. Birincisi, matris elemanları Σφkφj olduğundan simetrik bir denklem sistemi oluştururlar. φj(x)’in gerçek olduğu varsayıldığından, matris normal bir matris olacaktır. Bu, en küçük kareler için koşul denklemleri için normal denklemler adının kökenidir.

Burada bileşenleri φj(x) temel fonksiyonları olan bir φ(x) vektörü tanımladık. Böylece, normal denklemlerin matris elemanları, temel vektörün dış (tensör) çarpımı kendisiyle alınarak ve her veri noktası için vektörün değerleri toplanarak basitçe üretilebilir. Normal denklemleri geliştirmenin üçüncü bir yolu, xi olarak veri noktalarında değerlendirilen temel fonksiyonlardan kare olmayan bir matris tanımlamaktır.

Veri noktaları üzerinden toplama yapmak için matris ürününden yararlandığımız yer. Denklemler, aynı biçimciliği ifade etmenin farklı matematiksel yollarıdır ve normal denklemlerin oluşturulması için ayrıntılı bir program geliştirmede faydalıdır.

En Küçük Kareler Yöntemi
En Küçük Kareler Yöntemi regresyon
En Küçük Kareler Yöntemi Soru çözümü
En küçük kareler yöntemi Excel
En küçük kareler yöntemi calculator
En Küçük Kareler Yöntemi Ekonometri
En küçük Kareler Yöntemi PDF
En küçük kareler yöntemi ile nüfus projeksiyonu

Şimdiye kadar aj serbest parametrelerinin çözümünü belirlemede tüm veri noktalarının eşit değerde olduğunu kabul ettik. Genellikle durum böyle değildir ve belirli bir noktanın (xi,Yi) diğerlerinden daha fazla veya daha az değerli olduğunu saymak isteriz.

Onu normal denklemlere götüren toplamlara birden fazla kez dahil edebilir veya denklem tarafından verilen φ matrisini tanımlayan gözlem noktaları listesine ekleyebiliriz. Bu basit yaklaşım, veri noktaları için yalnızca integral ağırlıkları verir.

Çok daha genel bir yaklaşım, ifade denklemine veya veri noktasını temsil eden denkleme bir ağırlık ωi atayabilir. o zaman denklem forma sahip olacaktır.

Bu basit ikame, genellikle önemli bir kafa karışıklığının kaynağıdır. Ağırlık wi, gözleme atanan ağırlığın karesidir ve zorunlu olarak pozitif bir sayıdır. Negatif bir ağırlık πi atayarak bir veri noktasının önemi azaltılamaz.

Normal denklemlerin oluşturulması, kare ağırlığı wi’yi pozitif olmaya zorlayacak ve böylece çözümü belirlemede o noktanın rolünü artıracaktır. Bu bölümün geri kalanında, denklemle gösterilen ağırlık karesi olarak wi’yi tutarlı bir şekilde kullanacağız. Bununla birlikte, belirli bir gözlemin bireysel ağırlığı olarak πi’yi de kullanacağız. Okuyucu ikisini karıştırmamaya dikkat etmelidir.

Oluşturulduktan sonra, bu lineer cebirsel denklemler verilen tekniklerden herhangi biri ile ayarlanabilir serbest parametreler için çözülebilir. Bununla birlikte, bazı koşullar altında diğerlerinden daha kararlı olan normal denklemler üretmek mümkün olabilir.

Legendre Yaklaşımı

İster tablosal ister deneysel olsun, verileri istediğimiz bir fonksiyonla yaklaştırdığımız durumda, φj(x) temel fonksiyonlarını ortogonal kümenin üyeleri olarak seçerek sayısal kararlılığı geliştirebiliriz.

Tartıştığımız ortogonal fonksiyonların çoğu polinom olduğundan, tartışmamızı ortogonal polinomlara dayandıracağız. Ancak bunun bir gereklilik değil, bir kolaylık olduğu açık olmalıdır. φj(x), bağımsız değişken x’in aralığı üzerinden w(x) ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal bir polinom olsun. Normal denklemlerin elemanları daha sonra şeklini alır.

Veri noktaları gerçekten bağımsızsa ve x aralığı boyunca rastgele seçilmişse, sayıları arttıkça toplam, integralin değerine yaklaşacaktır.

Bu, normal denklemlerin çözümünü kesinlikle basitleştirir, çünkü denklem, köşegen dışı elemanların kaybolma eğiliminde olacağını belirtir. φj(x) temel fonksiyonları bir ortonormal kümeden seçilirse, çözüm şöyle olur.

Sadece ortogonal olmaları durumunda, çözümün, formun bir çözümüne yol açan köşegen elemanlar tarafından normalleştirilmesi gerekecektir.