Benzerlik Dönüşümleri – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti

Benzerlik Dönüşümleri ve Bir Matrisin Özdeğerleri ve Vektörleri

Koordinat dönüşümü dediğimiz doğrusal cebirsel denklemler sistemi aracılığıyla bir vektörü başka bir vektör cinsinden temsil etmenin genellikle mümkün olduğunu gördük. Bu dönüşüm vektörün uzunluğunu koruyorsa buna ortonormal dönüşüm denir ve dönüşüm katsayılarının matrisinin bazı özel özellikleri vardır. Bilimdeki birçok problem, formun doğrusal denklemleri cinsinden temsil edilebilir.

Genel olarak, bu problemler, dönüştürülen vektörün her elemanının orijinal vektörün karşılık gelen elemanı ile orantılı olduğu bir koordinat çerçevesi bularak çok daha basit hale getirilebilir. Başka bir deyişle, dönüşüm formun köşegen matrisi olacak şekilde temel vektörlerin düzenlendiği bir uzay var mıdır?

Böyle bir dönüşüm, benzerlik dönüşümü olarak adlandırılır, çünkü y’ öğesinin her öğesi, xr’ öğesinin karşılık gelen öğesine benzer (orantılı) olacaktır. Şimdi içinde ifade ettiğimiz ve tanımladığımız alan bir temel vektörleri kümesi ve xr’ ve yr’in ifade edildiği uzay e)’i tarafından kapsanır. Astarlanmamış ve astarlanmış koordinat çerçevelerini ilişkilendiren dönüşümün D olmasına izin verirsek, o zaman temel vektörler ilişkilidir.

Şimdi, D ve S’nin doğası yalnızca A matrisine bağlıdır ve hiçbir şekilde xr oryr değerlerine bağlı değildir. Böylece A matrisinin özellikleri olarak kabul edilebilirler. sjj öğeleri, A’nın özdeğerleri (uygun değerler veya karakteristik değerler olarak da) olarak bilinirken, D’yi oluşturan sütunlara özvektörler (veya uygun vektörler veya karakteristik değerler) denir. 

Ek olarak, denklem A matrisinin öz (veya karakteristik) denklemi olarak bilinir. Tüm matrisler için bir benzerlik dönüşümünün var olduğu açık değildir ve aslında genel olarak yoktur. Bununla birlikte, matris simetrik ise, o zaman böyle bir dönüşümün var olması garanti edilir.

Denklem, bir matrisin özdeğerlerini nasıl bulabileceğimizi önerir. Denklemde olduğu gibi veya daha genel olarak denklemde olduğu gibi denklemin küçükler tarafından genişletilmesi, ortaya çıkan ifadenin özdeğerler olan n köke sahip olacak sjj’de n dereceli bir polinom olacağını açıkça ortaya koymaktadır.

Bu nedenle, bir matrisin özdeğerlerini bulmaya yönelik bir yaklaşım, özdenklemin köklerini bulmaya eşdeğerdir. Bir sonraki bölümde bir polinomun köklerini bulma hakkında daha fazla şey söyleyeceğiz, bu yüzden şimdilik kendimizi bir matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulmak için bazı özel tekniklerle sınırlayacağız.

Bir matrisin köşegenleştirilmesinin determinantının değerini değiştirmeyeceğini bölümde gördük. D dönüşüm matrisinin ve tersinin uygulanması, A’nın S matrisine köşegenleştirilmesini etkili bir şekilde gerçekleştirdiğinden, determinantın değişmeden kalmasını beklemeliyiz. S’nin determinantı köşegen elemanların çarpımı olacağından yazabiliriz.

Bu iki kısıtlama, özdenklemin derecesini ikiye indirgemek için kullanılan a 2’nin özdeğerlerini bulmak için her zaman yeterlidir. Ancak, n’nin büyük olduğu daha ilginç durum için daha genel bir yöntem bulmamız gerekecektir.

Bu tür herhangi bir yöntem bir polinomun köklerini bulmaya eşdeğer olacağından, bu tür yöntemlerin oldukça karmaşık olmasını bekleyebiliriz, çünkü polinomların köklerini bulmak sayısal analizdeki en zor problemlerden biridir. Yani bir matrisin özdeğerlerini bulmakta.

S’ye yol açan dönüşümün bir benzerlik dönüşümü olduğunu belirtmiş olsak da, tüm benzerlik dönüşümlerinin bir matrisi köşegenleştirmesi gerekmez, sadece forma sahip olması gerekir.

Helmert ve afin dönüşümü arasındaki fark
Afin dönüşümü
Afin dönüşümü Analitik Geometri
Afin dönüşümü örnekleri
Benzerlik dönüşümü örnekleri
Projektif dönüşüm
Afin dönüşümü Nedir
Datum dönüşümü

Özdeğerlerin benzerlik dönüşümlerine değişmezliği, çoğu “korunmuş” özdeğer programı tarafından kullanılan genel stratejinin temelini sağlar. Temel fikir, bir dizi benzerlik dönüşümü kullanarak A matrisini köşegen forma doğru zorlamaktır.

Bu tür prosedürlerin detayları bu çalışmanın kapsamı dışındadır ancak sonunda önerilen referanslarda bulunabilir. Bununla birlikte, hangi yaklaşım seçilirse seçilsin, ihtiyatlı araştırmacı, “hazırlanmış” paketin aslında matrisin doğru özdeğerlerini bulduğundan emin olmadan önce, denklemler tarafından verilen kısıtlamaların ne kadar iyi karşılandığını görecektir.

Özdeğerler bulunduktan sonra, karşılık gelen özvektörler denkleme başvurarak bulunabilir. Bununla birlikte, bu denklemler hala homojendir, bu da özvektörlerin öğelerinin benzersiz bir şekilde belirlenmediğini ima eder.

Aslında, özvektörün büyüklüğü genellikle belirtilmemiş olarak kabul edilir, bu nedenle eksik olan tek şey, her özvektöre uygulanacak bir ölçek faktörüdür. Yaygın bir yaklaşım, özvektörün öğelerinden birini basitçe birlik olarak tanımlamak ve böylece denklem sistemini homojen olmayan ve biçimli hale getirmektir.

Doğrudan çözüm şemalarını göstermek için kullanılan denklemlerin matrisini yeniden ele alarak özdeğerler ve özvektörler tartışmamızı sonlandıralım. Bu denklemlerin Gauss-Seidel yinelemeli çözümünün varlığı için yeterli koşulları sağlamadığını denklemden zaten gördük.

Matris için özdeğerleri değerlendirerek, yakınsama için gerekli ve yeterli koşulları, yani özdeğerlerin hepsinin pozitif ve birlikten küçük olduğunu değerlendirebiliriz.

Determinant bize özdeğerlerin hepsinin pozitif olamayacağını söyler, böylece Gauss-Seidel’in yakınsaması için gerekli ve yeterli koşullar denklem tarafından verilen yeterli koşulun sonucunu doğrulayarak karşılanmaz.

Denklem tarafından verilen kısıtlamalar, öz-denklem için kökler bulmamıza da yardımcı olabilir. Köklerin çarpımının, toplamlarının iki katının negatif olması, köklerin ikisinin zıt işaretli bir çift olarak oluştuğunu gösterir. Bu varsayım, Descarte’ın bir sonraki bölümde tartışılan “işaretler kuralı” tarafından desteklenmektedir. İz ve determinant değerleri ile birleştiğinde bu bilgiyle köklerin olduğunu buluruz.

Daha önce belirttiğimiz gibi, bu denklemler homojendir, dolayısıyla benzersiz bir çözümleri yoktur. Bu, özvektörlerin uzunluğunun belirsiz olduğu anlamına gelir. Birçok yazar bunları birim uzunlukta olacak şekilde normalleştirir ve böylece daha fazla analiz için bir dizi birim temel vektör oluşturur.

Bu vektörler birim vektörler olacak şekilde yeniden normalize edilmek istenirse, her bir elemanın vektörlerin büyüklüğüne bölünmesi yeterlidir. Her özdeğerin kendi ilişkili öz vektörü vardır, böylece denklem A matrisinin analizini tamamlar.

Bir lineer denklem sistemi için Gauss-Seidel yineleme yönteminin yakınsaması için gerekli ve yeterli bir koşulu sağlamak için başlangıçta bir özdeğer kavramını tanıttık. Açıkçası, bu, hata veya yakınsama kriterlerinin orijinal problemden daha zor bir problem teşkil ettiği duruma mükemmel bir örnektir.

Bir matrisin özdeğerlerinin ayrıntılı olarak belirlenmesinde, yalnızca bir matrisin tersine çevrilmesinden çok daha fazlası vardır. Açıklanan tüm farklı matris sınıfları, farklı özdeğerlerin mevcut olduğu durumlarda bile özel problemler oluşturur. Öz denklemin çözümü, polinomların köklerini bulmayı içerir. 

akademi222 takımı

Biyografinin Tamamını Gör