Örneklem Ortalaması

Örneklem Ortalaması

χ2, beklenebilecek olanla karşılaştırıldığında örneklem ortalamasının varyansının bir ölçüsü olduğundan, onu, normal dağılmış bir ana popülasyon örneğinden beklenebilecek olana örneklenen verilerin ne kadar yaklaştığının bir ölçüsü olarak kullanabiliriz.

t-testinde olduğu gibi, bunu ifade etmenin birkaç farklı yolu vardır, ancak belki de en basiti, herhangi bir örneklemeden beklenebilecek χ2 değerine ilişkin güven sınırlarını yeniden hesaplamaktır. Tüm ana popülasyonu örneklersek, χv2 birlik bekleriz.

Herhangi bir sonlu örnekleme için, χ2’nin gerçek değerinin tesadüfen ortaya çıkma olasılığını belirleyebiliriz. T testi gibi, hangi olasılığın kabul edilebilir olduğuna karar vermeliyiz. Kanıtlama amacıyla, χ2’nin tesadüfen meydana gelme olasılığının %5 olması yeterli bir kriterdir diyelim. Zamanın %5’inde tesadüfen oluşabilecek değerin üst sınırını temsil eden χ2 değeri.

Bu nedenle, χ2p’den büyük olan gözlemlenen bir χ2 değeri, ana popülasyonun normal eğri tarafından temsil edilmediğini veya örnekleme prosedürünün sistematik olarak kusurlu olduğunu gösterir.

χ2 testinin zorluğu, denklemin ima ettiği hesaplamaların yapılabilmesi için σ2i’nin bireysel değerlerinin bilinmesinin gerekli olmasıdır. Genellikle bunları tahmin etmenin bağımsız bir yolu vardır. Bununla birlikte, genellikle onları hafife alma eğilimi de vardır.

Deneyciler, deneysel cihazlarının gerçekte olduğundan daha iyi performans gösterdiğine inanma eğilimindedir. Bu, gözlemlenen bir ki-karenin çok büyük bir değerine yol açacaktır.

Burada açıklanan hem t-testi hem de χ2-testi, rastgele dağıtılmış bir ebeveyn popülasyonu için beklenenlere karşı tek bir örnek dağılımının belirli özelliklerini test eder. Tek bir gözlemin varyansının her örnek için farklı olabileceği ebeveyn popülasyonunun iki farklı örneğini nasıl karşılaştırabiliriz?

F Testi

İçinde, iki farklı χ2’nin oranının denklemle verilen bir örnekleme dağılımına sahip olacağını bulduk. Dolayısıyla, ana popülasyonu farklı şekilde örnekleyen ve iki farklı χ2 değeri elde eden iki farklı deneyimiz varsa, iki deneyin ne ölçüde farklı olduğunu sorabiliriz.

Elbette F’nin beklenen değeri bir olacaktır, ancak “gerçek değerin tesadüfen meydana gelme olasılığı nedir?” Yine olasılık yoğunluk dağılım fonksiyonunun integralini alarak F12’deki güven limitlerini şu şekilde oluşturuyoruz.

Dolayısıyla, F12’nin gözlemlenen değeri F12’yi (p) aşarsa, o zaman iki deneyden birinin ana popülasyonu tarafsız bir şekilde örneklemediğinden şüphelenebiliriz. Ancak F12 < F12(p) koşulunu sağlamak, iki deneyin ana popülasyonu aynı şekilde örneklediğini belirlemek için yeterli değildir. F12 çok küçük olabilir. Denklemden yazabileceğimize dikkat edin.

Şimdiye kadar, örneklenen değerin ana popülasyonda bulunan bir miktarın doğrudan bir ölçüsü olduğu durumları tartıştık. Bununla birlikte, çoğu zaman gözlemlenen değer, x rasgele değişkeninin karmaşık bir işlevi olabilir.

En küçük kareler tartışmamızda kesinlikle böyleydi. Bu koşullar altında, y ve x’i ilişkilendiren parametreler, uyumun diğer parametrelerini belirlemek için gereken serbestlik derecelerini istatistiksel analizden çıkararak belirlenmelidir.

N veri noktasını n bağımsız katsayıya sahip bir fonksiyona sığdırırsak, o zaman prensip olarak, örneğin ε2’yi belirlemek için yalnızca (N-n) nokta bırakarak veri noktalarının n’sini tam olarak sığdırabiliriz. Böylece, istatistiksel analiz için yalnızca (N-n) serbestlik derecesi kalır.

Örneklem ortalaması formülü
Örneklem ortalaması nedir
Anakütle ortalaması formülü
Anakütle ortalaması nedir
Örneklem ortalaması sembolü
Ortalamanın ÖRNEKLEME dağılımı örnekleri
Anakütle ortalaması güven aralığı
İki varyansın oranı ile elde edilen dağılım

Bu, bulduğumuz en küçük kareler katsayılarının hataları (varyansları) için denklemin paydasındaki (N-n) teriminin kökenidir. Daha sonraki analizlerde ortalama gerekliyse, yalnızca (N-n-1) dereceler özgürlük kalırdı. Bu nedenle, çok parametreli bir problemle uğraşırken serbestlik derecesi sayısını belirlerken dikkatli olmalıyız.

Bu, t testinin ve χ2 testinin kullanımını içerir. Bununla birlikte, bu tür problemler, F testinin çok güçlü bir şekilde uygulanmasını önerir. Bazı verileri n parametreli bir fonksiyona sığdırdığımızı varsayalım. χ2-testi ve belki de diğer değerlendirmeler, verilere en iyi uyumu elde edemediğimizi, dolayısıyla artık toplam (n+1) bağımsız parametre olacak şekilde ek parametreli bir işlevi göz önünde bulundurduğumuzu gösteriyor.

Artık ek bir parametre eklemenin analizden bir serbestlik derecesi daha kaldıracağını ve ortalama kare hatası ε2’nin azalması gerektiğini biliyoruz. O zaman soru, ε2’deki düşüşün tesadüfen olmasını bekleyeceğimiz bir miktarı temsil edip etmediği veya ek parametreyi dahil ederek ebeveyn popülasyonun bazı sistematik davranışlarını eşleştirip eşleştirmediğimiz olur.

Burada F-testi çok faydalı bir cevap sağlayabilir. Verilerin her iki örneği de “gözlemsel olarak” aynıdır, böylece iki χ2 için σ2i’ler
birebir aynı. İki χ arasındaki tek fark, bir serbestlik derecesindeki kayıptır. σi’lerin hepsinin eşit olduğu koşullar altında, F istatistiği oldukça basit bir biçim alır.

Ancak, şimdi F12’nin şans eseri beklenenden daha büyük olup olmadığını bilmek istiyoruz (yani, F12 > F12(p)). Veya “F12 = F12(p) olan p’nin değeri nedir?” sorusunu yanıtlayarak. sorunu çözmenin başka bir yoludur.

Bu, yaklaşık bir fonksiyona bir parametrenin eklenmesinin tesadüfen beklenenden daha büyük bir gelişme ürettiğini belirlemenin özellikle basit bir yöntemidir. F değeri için güven sınırları belirlemeye ve böylece ek parametrenin önemini belirlemeye eşdeğerdir.

Denklemlerde görünen olasılık integrallerinin değerleri, çoğu temel istatistik kitabının1 veya CRC Olasılık ve İstatistik Tabloları El Kitabının2 eklerinde bulunabilir. Bu nedenle, F-testi, birincil bir teorik doğrulamadan yoksun olan belirli bir yaklaşım formülünün yeterli sayıda terim içerdiğine karar vermek için mükemmel bir kriter sağlar.

Kolmogorov-Smirnov Testleri

Şimdiye kadar tartıştığımız istatistiksel testlerin neredeyse tüm yönleri, bir örnek popülasyonun belirli bir özelliğinin veya istatistiğinin, ana popülasyon için beklenen istatistikle ne ölçüde karşılaştırılabileceğini belirlemeye dayanmaktadır.

Bu istatistiklerin rastgele bir örnekleme için beklenen aralıklar içinde olup olmadığına bağlı olarak, örneğin ana popülasyona “uyum iyiliği” belirlenir. Çarpıklık, basıklık, t, χ2 veya F gibi parametrelerin tümü dağılım fonksiyonunun belirli özelliklerini temsil eder ve bu nedenle bu tür testlere genellikle örneğin parametrik testleri denir.

Bu tür testler, örneklem büyüklüğü büyük olduğunda kesin olabilir, böylece parametrenin gerçek değeri ana popülasyonun karşılık gelen değerini temsil eder. Örnek boyutu küçük olduğunda, örnekleme dağılım fonksiyonunun normal dağılımdan ayrılmasına izin verildiğinde bile, istatistiksel argümanın inandırıcılığı azalır.

Beklenen ebeveyn dağılımı ışığında tüm dağılımı inceleyen testler tercih edilir. Bu tür testlere örnek olarak Kolmogorov-Smirnov testleri verilebilir.

Rastgele değişkenin doğrudan örneklendiği t-testi ve χ2-testi için kullandığımıza benzer bir durumu ele alalım. Bu testler için, ana popülasyonu karakterize eden olasılık yoğunluk dağılımının kümülatif olasılığını tahmin etmek için gözlenen veri noktalarını (xi) kullanacağız.

Örnekleme prosedüründen elde edilen xi değerlerinin bir histogramını oluşturduğumuzu varsayalım. Şimdi, numunedeki toplam nokta sayısına göre normalize edilen x < xi ile nokta sayısını basitçe toplarız. Bu sayı basitçe x < xi elde etme olasılığıdır ve kümülatif olasılık dağılımı S(xi) olarak bilinir.

akademi222 takımı

Biyografinin Tamamını Gör