Sayısal Yöntemler – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti

Doğrusal Denklemler ve Matrisler İçin Sayısal Yöntemler

Bir önceki bölümde lineer denklemlerin dönüşüm teorisinde önemli bir rol oynadığını ve bu denklemlerin basitçe matrislerle ifade edilebileceğini gördük. Ancak bu, lineer denklemlerin ve matris teorisinin fiziksel dünyanın matematiksel tanımındaki öneminin yalnızca küçük bir bölümüdür.

Bu nedenle, sayısal yöntemler çalışmamıza, matrisleri manipüle etmek ve lineer denklem sistemlerini çözmek için yöntemlerin bir açıklamasıyla başlamalıyız. Bununla birlikte, sayısal yöntemlerle ilgili herhangi bir tartışmaya başlamadan önce, bu hesaplamaların yapılabileceği kesinlik hakkında bir şeyler söylemeliyiz.

Hatalar ve Yayılmaları

Elektronik dijital bilgisayar için sayısal analiz programlarının en güvenilir yönlerinden biri, neredeyse her zaman sayı üretmeleridir. Makinelerin kayda değer güvenilirliğinin bir sonucu olarak, hesaplamalarının sonuçlarını belli bir yanılmazlık havasıyla değerlendirmek yaygın bir durumdur.

Ancak sonuçlar, bilgisayarın kullandığı analiz yöntemi ve uygulama programından daha iyi olamaz ve bunlar son derece yanılabilir insan işleridir. “Çöp içeri – çöp dışarı” aforizmasının kaynağı budur. Bu makineler tarafından gerçekleştirilen çok sayıda hesaplama nedeniyle, herhangi bir aşamadaki küçük hatalar, sonucun geçerliliğini yok eden büyük hatalara hızla yayılabilir.

Hesaplama hatalarını iki genel kategoriye ayırabiliriz: Bunlardan birincisine yuvarlama hatası, ikincisine ise kesme hatası diyeceğiz. Yuvarlama hatası, belki de ikisi arasında daha sinsi olanıdır ve her zaman bir düzeyde mevcuttur. Gerçekten de, her yerde bulunabilmesi, karşı karşıya olduğumuz ilk soruna işaret ediyor. Ne kadar doğru bir cevaba ihtiyacımız var?

Dijital bilgisayarlar, hesaplamalarında belirli sayıda basamak kullanır ve bu temel basamak sayısı, makinenin kesinliği olarak bilinir. Basamak sayısını ikiye veya üçe katlamak genellikle mümkündür ve bu nedenle, bu genişletilmiş basamak sayısı kullanılarak gerçekleştirilen bir hesaplamayı tanımlamak için “iki” veya “üçlü” kesinlik ifadesi yaygın olarak kullanılır. “Doğru anladığından” emin olmak için sorunun haklı gösterdiğinden daha fazla rakam kullanmak yaygın bir uygulamadır.

Bilim adamı için bunda ince bir tehlike vardır, çünkü bilgisayar tarafından sunulan tüm rakamları yayınlama cazibesi genellikle ezicidir. Bu nedenle, yayınlanan makaleler genellikle probleme giren hesaplama veya fizik tarafından gerekçelendirilenden çok daha fazla ondalık basamaktan oluşan sayısal sonuçlar içerir.

Bu, bazı okuyucuların bilmeden sonuçları gerekçesiz bir devinim düzeyinde kullanmasına ve böylece anlamsız sonuçlara varmasına yol açabilir. İlk aritmetik hesaplamadan sonra genellikle son basamağın değerinde bir miktar belirsizlik olacağından, tam makine devimi kesinlikle doğrulanmaz.

Bu, yuvarlama hatası dediğimiz birinci tür hatanın sonucudur. Uç bir örnek olarak, 6+3’ün 9×100 vermesi için yalnızca bir önemli rakamı ve hesaplamanın üssünü tutan bir makineyi düşünün. Ancak, 6+4, 6+5 ve 6+8’in hepsi aynı yanıtı, yani 1×101’i verecektir. Makine yalnızca bir rakam taşıdığından, diğer tüm bilgiler kaybolacaktır.

SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI
SAYISAL Yöntemler 1 Vize Soruları
SAYISAL YÖNTEMLER konuları
Sayısal Analiz PDF
SAYISAL YÖNTEMLER PDF
SAYISAL YÖNTEMLER işletme ders NOTLARI
SAYISAL YÖNTEMLER aöf PDF
Sayısal Yöntemler Kitap

6+9 veya 7+9’un sonucunun ne olacağı hemen belli değil. Sonuç 2×101 ise, makinenin hesaplamayı en yakın anlamlı basamağa yuvarladığı söylenir. Ancak sonuç 1×101 olarak kalırsa, makinenin toplamayı en yakın anlamlı basamağa kadar kestiği söylenir.

Hangisinin gerçekten bilgisayar tarafından yapıldığı, hem makinenin fiziksel mimarisine (donanımına) hem de ona işlemi gerçekleştirme talimatı veren programlara (yazılım) bağlı olacaktır. Hesaplamayı bir insan operatör yapıyorsa, bunun ne zaman olduğunu görmek ve ek önemli rakamlar tutarak buna izin vermek genellikle mümkün olacaktır, ancak bu genellikle makinelerde geçerli değildir.

Bu nedenle, yuvarlama hatasının nihai hesaplama sonucuna yayılması konusunda dikkatli olmalıyız. Yukarıdaki örneğin yalnızca 1 basamaklı bir makine için olduğunu ve bu nedenle gerçekçi olmadığını söylemek cazip gelebilir. Ancak, ortak 6 basamaklı makineyi düşünün. 1 milyon dolarla 1 milyon 9 doları ayırt edemeyecek.

Bu iki sayının çıkarılması sıfır verir. Bu, bir bankadaki herhangi bir muhasebeci için önemli olacaktır. Bu türden tekrarlanan işlemler, ilk basamakta tamamen anlamsız bir sonuca yol açabilir.

Bu, ‘ne kadar doğru bir cevaba ihtiyacımız var?’ sorusunu vurgulamaktadır. Muhasebeci için, tüm parayı banka tarafından kararlaştırılan bir seviyede hesaba katmak için yeterli rakama ihtiyacımız var. Örneğin, Dahili Gelir Hizmeti, vergi mükelleflerinin tüm hesaplamaları en yakın dolara yuvarlamasına izin verir. Bu, anlamlı basamak sayısı için bir alt sınır belirler.

Kişinin geliri genellikle üst sınırı belirler. Fiziksel dünyada çok az sayıda doğa sabiti dört basamaktan fazla olarak bilinir (ışık hızı dikkate değer bir istisnadır). Bu nedenle, fiziksel modellemenin sonuçları nadiren dört rakamın ötesinde önemlidir. Yine sıfır deneylerinde olduğu gibi istisnalar vardır, ancak genel olarak bilim adamları, cevaplarının olduğundan daha iyi cevaplar olduğuna inanarak kendilerini aldatmamalıdırlar.

Yuvarlama hatasının etkilerini nasıl tespit ederiz? Yuvarlama hatalarının temelde rasgele meydana geldiği düşünülerek tüm çalışmalar bu konuya ayrılmıştır. Bilgisayarlar temel olarak deterministik olsalar da (yani, aynı başlangıç durumu verildiğinde, bilgisayar her zaman aynı cevaba varacaktır), geniş bir aritmetik işlemler koleksiyonu, rastgele bir yukarı ve aşağı yuvarlama koleksiyonu üretiyor olarak düşünülebilir.

Bununla birlikte, etkilenen basamak sayısı da değişken olacaktır ve bu, sorunu genel olarak incelemeyi çok daha zorlaştırır. Bu nedenle pratikte, yuvarlama hatasının etkileri büyük endişe kaynağı olduğunda, problem çift devinimde çalıştırılabilir. Her iki hesaplama da kabul edilebilir devinim seviyesinde aynı sonucu verirse, o zaman yuvarlama hatası muhtemelen sorun olmaz.

Yuvarlama hatasının varlığını saptamak için ek bir “temel kural”, yanıtların sağ tarafında çok sayıda sıfırın görünmesidir. Sıfırların sayısı, sorunun boyutunu veya sayısal kapsamını belirleyen sorunun parametrelerine bağlıysa, yuvarlama hatası konusunda endişe edilmelidir. Elbette bu kuralın istisnaları düşünülebilir, ancak genel olarak bunlar sadece istisnalardır.

İkinci hata biçimini kesme hatası olarak adlandırdık ve yuvarlama hataları durumunda zamanın yarısında gerçekleşen “kesme” işleminin getirdiği hatalarla karıştırılmamalıdır. Bu tür bir hata, yaklaşım yönteminin problemin çözümünü doğru bir şekilde temsil edememesinden kaynaklanır.

Bu tür bir hatanın büyüklüğü, hem sorunun doğasına hem de yaklaşım tekniğinin türüne bağlıdır. Örneğin, ilgilenilen problemin çözümü bir polinom ise kesin cevaplar verecek bir sayısal yaklaşım tekniğini ele alalım.

Polinomlar için çözüm kesin olduğundan, doğru çözümün bir polinomdan ne kadar farklı olduğu bir hata verecektir. Bununla birlikte, birçok farklı türde polinom vardır ve daha yüksek dereceli bir polinomun, daha düşük dereceli bir polinomdan daha doğru bir şekilde çözüme yaklaştığı olabilir.

akademi222 takımı

Biyografinin Tamamını Gör