Tensörler ve Dönüşümler – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti
Tensörler ve Dönüşümler
Pek çok öğrenci tensör kavramını göz korkutucu bulur ve bu nedenle mümkün olduğunca onlardan kaçının. Ne de olsa Einstein’ın bir keresinde, Genel Görelilik Teorisi’ni yayınladığında onun yaptıklarını anlayacak ondan fazla insan olmadığını söylediği aktarılmıştı.
Tensörler genel göreliliğin temeli olduğuna göre, bu onların o kadar ezoterik oldukları ve onları yalnızca on kişinin yönetebileceği anlamına gelmelidir. Yanlış! Bu, bağlamdan çıkarılan bir alıntının yanlış yorumlanmasına güzel bir örnektir.
Einstein’ın anlatmak istediği, Genel Görelilik Kuramı’nı ifade etmek için kullandığı notasyonun, onu bilen ve bu nedenle onun ne yaptığını anlayabilen ondan fazla kişinin bulunamayacağı kadar belirsiz olduğuydu.
Ne yazık ki, tensörler genellikle gerçekte olduklarından çok daha karmaşık olarak temsil edilmiştir. Bu nedenle, bu kitabın okuyucuları onlarla daha önce karşılaşmamış olsalar da, artık karşılaşmalarının zamanı geldi. Belki bir dahaki sefere biraz daha az korkacaklar, çünkü bilimi gerçekten anlama konusunda herhangi bir hırsları varsa, er ya da geç onları anlamak zorunda kalacaklar.
Genel olarak, bir tensörün Nn bileşeni veya elemanı vardır. N, vektörlere benzetilerek tensörün boyutsallığı olarak bilinirken, n tensörün rankı olarak adlandırılır. Bu nedenle, skalerler sıfır dereceli tensörlerdir ve herhangi bir boyuttaki vektörler birinci derecedir. Yani skalerler ve vektörler tensörlerin alt kümeleridir. Tensör elemanlarının eklenmesiyle toplama yasasını olağan şekilde tanımlayabiliriz.
Böylece boş tensör (yani elemanları sıfır olan) toplama altındaki birimi oluşturur ve aritmetik çıkarma ters işlemdir. Açıkça tensörler, toplama altında iletişimsel bir grup oluşturur. Ayrıca, skaler veya nokta çarpımı tensörler için genelleştirilebilir, böylece sonuç m – n mertebesinde bir tensör olur.
Benzer bir şekilde dış çarpım, sonuç m + n dereceli bir tensör olacak şekilde tanımlanabilir. Bu operasyonların hepsinin kapalı olduğu açıktır; yani sonuçlar tensör olarak kalır. Ancak bu ürünler genel olarak dağıtımcı iken iletişimsel değildirler ve bu nedenle tensörler bazı ek kısıtlamalar yapılmadıkça bir alan oluşturmayacaktır.
Bununla birlikte, tüm öğeleri basit bir geometrik tarzda görüntülemek daha zor hale gelir, bu nedenle genellikle sadece listelenir veya tanımlanır. Üçüncü dereceden özellikle önemli bir tensör, Levi-Civita Tensörü (veya doğru bir şekilde Levi-Civita Tensörü Yoğunluğu) olarak bilinir.
Herhangi iki endeks eşit olduğunda, tensör elemanının sıfır olması bakımından, Kronecker deltasını bir şekilde tamamlayıcı bir rol oynar. İndekslerin tümü farklı olduğunda, indis sekansının sırasıyla 1, 2, 3 sekansından çift veya tek permütasyon olarak elde edilip edilemeyeceğine bağlı olarak tensör elemanı +1 veya -1’dir. εijk tensörünü 3×3 matris dizisi olarak temsil etmeye çalışırsak, şunu elde ederiz.
Vektör ile kastettiğimiz şeye bir koşul ekledik, yani bir vektörün uzunluğunun bir koordinat dönüşümüne göre değişmez olmasını gerekli kıldık. Burada, vektörlerle kastettiğimiz şeyin ek kısıtlamalarının, bunların dönüşme biçimleriyle nasıl belirlenebileceğini görüyoruz.
Bazı vektörlerin bir yansıma dönüşümü altında garip davrandığını belirterek ve bu sözde vektörleri adlandırarak bir vektörle kastettiğimiz şeyi daha da sınırladık. Levi-Civita tensörü, sıradan (kutupsal) vektörlerin öğelerinden vektör çapraz çarpımını ürettiğinden, bu garip dönüşüm özelliğini paylaşmalıdır.
Bu dönüşüm özelliğini paylaşan tensörler, genel olarak tensör yoğunlukları veya sahte tensörler olarak bilinir. Bu nedenle denklem (1.4.3)’te tanımlanan εijk’ye Levi-Civita tensör yoğunluğu demeliyiz. Aslında, tensörler olarak adlandırılan grubun öğelerini tanımlamak için en doğru şekilde kullanılan, tensörlerin, vektörlerin ve skalerlerin ortonormal dönüşümlere değişmezliğidir.
Vektörler, tensör adı verilen daha geniş nesne sınıfının özel bir durumu olduğundan, bu dönüşüm kısıtlamalarının genel sınıfa yayılmasını beklemeliyiz. Gerçekten de, tensörleri tanımlamanın tamamen uygun tek yolu, bunların bir koordinat sisteminden diğerine dönüşme şeklini tanımlamaktır.
Tensör nedir
Tensor aleti
Tensör analizi
Tensör nedir tıp
Metrik tensör
Tensor Ne Demek anatomi
Vektörel Analiz ders Notları pdf
Topolojik manifold nedir
Tensör dönüşümü kavramını daha da geliştirmek için vektörlerin dönüşme biçimine daha yakından bakacağız. Denklem (1.3.2)’de vektörler için genel bir lineer dönüşüm yazdık. Bununla birlikte, dönme ve yansıma dönüşümleri dışında, dönüşüm matrisi A’nın doğası hakkında çok az şey söyledik.
Öyleyse, bir uzaydaki bir P noktasından komşu bir Q noktasına bir koordinat dönüşümünü nasıl ifade edeceğimizi düşünelim. Her nokta, seçtiğimiz herhangi bir koordinat sisteminde temsil edilebilir. Bu nedenle, koordinatların sırasıyla xi ve xi’ ile gösterildiği, ortak bir kökene sahip iki koordinat sistemini ele alalım.
Denklemin (1.4.7) Q noktasının özel konumunu içermediğini, bunun yerine iki koordinat çerçevesi arasındaki yerel ilişkinin genel bir ifadesi olduğunu unutmayın. Denklem (1.4.7) temel olarak P veya Q koordinatlarının bir koordinat sisteminden diğerine nasıl değişeceğini açıkladığından, denklem (1.3.2)’deki Aij öğelerini denklem (1.4.6)’daki kısmi türevlerle tanımlayabiliriz. Böylece, herhangi bir x vektörünün buna göre dönüşmesini bekleyebiliriz.
Bu şekilde dönüşen vektörlere aykırı vektörler denir. Bunları kısaca tartışacağımız kovaryant vektörlerden ayırmak için vektörün bileşenlerini alt simgeler yerine üst simgelerle göstereceğiz. Böylece, bir karşı değişken vektörün dönüşümü için doğru biçimdir.
Daha yüksek dereceli aykırı tensörler, ek koordinat değişiklikleriyle beklendiği gibi dönüşür. Çelişkili indeksleri temsil etmek için üst simgelerin kullanılmasının üslerle karıştırılacağı düşünülebilir, ancak genellikle durum böyle değildir ve bu tür vektör dönüşümü ile kovaryans arasındaki ayrım, fizik biliminde uyum sağlamak için yeterince önemlidir.
Çelişkili bir şekilde dönüşen nesne türleri, bunlarla sınırlı olmamakla birlikte geometrik nesnelerle ilişkili olanlardır. Örneğin, bir eğriye teğet vektörü oluşturan koordinatların sonsuz küçük yer değiştirmeleri, bunun bir kontradeğişken vektör olduğunu gösterir.
Kontravaryans kavramını geliştirmek için vektörleri kullanmış olmamıza rağmen, kavramın sıfır mertebesi de dahil olmak üzere herhangi bir mertebedeki tensörlere genişletilebileceği açıktır. Böyle bir tensör için dönüşüm kuralı basitçe şöyle olacaktır.
Şimdi, uzaya gömülmüş geometrik nesnelerin vektör temsillerini ve dönüşümlerini düşünmek yerine, koordinatların kendilerinin skaler bir fonksiyonunu ele alalım. Böyle bir fonksiyon Φ(xi) olsun. Sonraki yazımızda x’i-koordinat çerçevesindeki Φ gradyanının bileşenlerini ele alacağız.
Metrik tensör Tensor aleti Tensör analizi Tensor Ne Demek anatomi Tensör nedir Tensör nedir tıp Topolojik manifold nedir Vektörel Analiz ders Notları pdf