Koordinat Dönüşümleri – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti

Koordinat Sistemleri ve Koordinat Dönüşümleri

Uzayların tanımıyla ilgilenen topoloji olarak bilinen bir matematik alanı vardır. Çoğu öğrenci için uzay kavramı sezgisel olarak açıktır ve günlük deneyimin üç boyutlu Öklidyen uzayıyla sınırlıdır.

Küçük bir yansıma, öğrenciyi izin verilen bir alan olarak düz düzlemi dahil etmeye ikna edebilir. Bununla birlikte, biraz daha genelleme, herhangi bir zamanda, bazı fenomenlerin tanımı için bir alan oluşturmak için kullanılabilecekleri birkaç bağımsız değişkene sahip olduğunu önerecektir. Topoloji alanında uzay kavramı bundan çok daha geneldir ve daha egzotik uzayların birçoğunun fiziksel dünyada bilinen bir karşılığı yoktur.

Kendimizi genellikle bazı fiziksel yorumları olan bağımsız değişken uzaylarıyla sınırlayacağız. Bu değişkenlerin, uzayı tanımlayan ve topoloji tarafından kataloglanan uzay hiyerarşisinde oldukça üst sıralarda yer alan bir koordinat çerçevesi oluşturduğu söylenebilir.

Bir koordinat çerçevesinin ne anlama geldiğini anlamak için, hepsi bir noktada birbirine bağlı bir dizi sert çubuk veya vektör hayal edin. Böyle bir çubuk koleksiyonuna referans çerçevesi diyeceğiz. Uzaydaki her nokta, benzersiz bir çubuk noktaları kümesinin uzay noktasını temsil etmesi için çubuklara yansıtılabilirse, vektörlerin uzayı kapsadığı söylenir.

Uzayı tanımlayan vektörler yerel olarak dik ise, ortogonal bir koordinat çerçevesi oluşturdukları söylenir. Referans çerçevesini tanımlayan vektörler aynı zamanda birim vektörler ise eˆi diyen koşul diklik için yazılabilir.

Burada δij, Kronecker deltasıdır. Böyle bir vektör kümesi, eˆj vektörlerinin sayısına eşit boyutlu bir uzayı kaplayacaktır. Böyle bir uzayın Öklidci olması gerekmez, ancak öyleyse, o zaman koordinat çerçevesinin bir Kartezyen koordinat çerçevesi olduğu söylenir.

Geleneksel xyz-koordinat çerçevesi Kartezyendir, ancak böyle bir koordinat sisteminin lastik bir levha üzerine çizildiği ve sonra yerel olarak ortogonallik koşullarının hala karşılanacağı şekilde bozulduğu düşünülebilir, ancak uzay artık Öklidyen veya Kartezyen olmayacaktır.

Ortogonal koordinat sistemlerinden, fiziksel dünyanın tanımı için özellikle yararlı olan birkaç tane vardır. Kesinlikle en yaygın olanı, koordinatların sıklıkla x, y, z veya x1, x2, x3 ile gösterildiği dikdörtgen veya Kartezyen koordinat çerçevesidir.

Diğer yaygın üç boyutlu çerçeveler, küresel kutupsal koordinatları (r,θ, φ) ve silindirik koordinatları (ρ,θ,z) içerir. Genellikle sayısal bir problemi çözmenin en önemli kısmı, problemi tanımlamak için uygun koordinat sistemini seçmektir. Örneğin, Laplace denkleminin ayrılabilir olduğu toplam on üç ortogonal koordinat çerçevesi vardır.

Koordinat çerçevelerinin gerçekten yararlı olabilmesi için, birinden diğerine nasıl gidileceğini bilmek gereklidir. Yani, bir koordinat çerçevesinde tanımlanmış bir problemimiz varsa, aynı problemi başka bir koordinat çerçevesinde nasıl ifade ederiz? Fiziksel dünyayı tanımlayan niceliklerin anlamlarının, tesadüfen seçtiğimiz koordinat çerçevesinden bağımsız olmasını isteriz.

Bu nedenle, sürecin problemle çok az ilgisi olmasını, bunun yerine koordinat çerçevelerinin kendi aralarındaki ilişkileri içermesini beklemeliyiz. Bu ilişkilere koordinat dönüşümleri denir. Matematikte bu tür pek çok dönüşüm olsa da, bu özetin amaçları doğrultusunda doğrusal dönüşümlerle ilgileneceğiz.

Bu tür koordinat dönüşümleri, bir çerçevedeki koordinatları bir doğrusal cebirsel denklemler sistemi aracılığıyla ikinci bir çerçevedekilerle ilişkilendirir. Bu nedenle, bir koordinat sistemindeki bir xr vektörünün xj bileşenleri varsa, asal koordinat sisteminde aynı noktaya bir xr’ vektörünün x bileşenleri olacaktır.

Aslında, B vektörü, hazırlanmamış koordinat çerçevesinin orijininden, astarlanmış koordinat çerçevesinin orijinine kadar olan bir vektörden başka bir şey değildir. Şimdi uzayda sabit olan iki noktayı ve bunları birleştiren bir vektörü ele alırsak, o vektörün uzunluğu ve yönü, ölçümlerin yapıldığı koordinat çerçevesinin orijininden bağımsız olacaktır.

Bu, dikkate alabileceğimiz doğrusal dönüşüm türleri üzerinde ek bir kısıtlama getirir. Örneğin, her koordinatı sabit bir miktarda ölçekleyen dönüşümler, doğrusalken, iki koordinat sisteminde ölçüldüğü şekliyle vektörün uzunluğunu değiştirir.

Koordinat Sistemleri ve dönüşümleri
Kartezyen koordinat sistemini Silindirik koordinat sistemlerine çevirme
x y z koordinat sistemi bulma
Kutupsal koordinat dönüşümleri
Küresel koordinat sistemi
Silindirik koordinat sistemi
Xyz koordinat sistemi
Silindirik koordinat sistemi örnekleri

Vektörü tanımlamanın uygun bir yolu olarak yalnızca koordinat sistemini kullandığımız için, koordinat sistemi vektörün uzunluğunu kontrol etmede hiçbir rol oynayamaz. Bu nedenle doğrusal dönüşüm araştırmalarımızı, vektörün uzunluğunu koruyarak ortogonal koordinat sistemlerini dönüştüren dönüşümlerle sınırlayacağız.

Bir matrisin satırlarını sütunlarıyla değiştirmek, matrisin devrik dediğimiz yeni bir matris üretir. Böylece, vektörlerin uzunluğunu koruyan ortogonal dönüşümler, basitçe orijinal matrisin devrik olan terslere sahiptir.

Bu tür dönüşümlere ortogonal üniter dönüşümler veya ortonormal dönüşümler denir ve denklemde verilen sonuç, bir koordinat sisteminden diğerine ve tekrar geri dönüşüm gerçekleştirme sürecini büyük ölçüde basitleştirir.

Ortonormal dönüşümleri ayrıca iki kategoriye ayırabiliriz. Bunlar en kolay şekilde iki koordinat sistemi arasındaki göreli oryantasyonu görselleştirerek tanımlanır.

Bir koordinatı yeni koordinat sistemindeki muadilinin negatifine taşırken diğerlerini değiştirmeden bırakan bir dönüşüm düşünün. Değiştirilen koordinat, örneğin x koordinatı ise, dönüşüm matrisi olacaktır.

Bu, ilk koordinat sistemini bir aynada görüntülemeye eşdeğerdir. Bu tür dönüşümler yansıma dönüşümleri olarak bilinir ve sağ elli bir koordinat sistemini sol elli bir koordinat sistemine alacaktır.

Herhangi bir vektörün uzunluğu değişmeden kalacaktır. Bu vektörlerin x bileşeni, yeni koordinat sisteminde basitçe negatifi ile değiştirilecektir. Ancak bu, vektör çapraz çarpımından kaynaklanan “vektörler” için doğru olmayacaktır.

Böyle bir vektörün bileşenlerinin değerleri değişmeden kalacaktır, bu da böyle bir vektörün yansıma dönüşümünün o vektörün oryantasyonunun değişmesiyle sonuçlanacağı anlamına gelir. İsterseniz, vektör çapraz çarpımları için “sağ el kuralının” kaynağı budur. Sol el kuralı, ters yönü gösteren bir vektörle sonuçlanır.

Bu nedenle, bu tür vektörler, yönelimleri değiştiği için yansıma dönüşümleri için değişmez değildir ve bu, onları ayrı bir sınıfa, yani eksenel (sözde) vektörlere koymanın nedenidir. Bir ortonormal yansıma dönüşümünün -1 determinantına sahip olacağını belirtmekte fayda var.

Determinantın üniter büyüklüğü, vektörün büyüklüğünün dönüşümle değişmemesinin bir sonucudur, işareti ise bazı koordinat kombinasyonlarının bir yansımaya uğradığını gösterir.