Diferansiyel Denklemler – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti

Diferansiyel Denklemler

Denklemler genellikle, diferansiyel denklemlerin çözümü için bir diferansiyel operatörün yerine sonlu farklar operatörünün kullanılmasının bir sonucu olarak ortaya çıkar. Düz Gauss eleme işlemi gerçekleştiren bir rutin, köşegen normalleştirme öğesinin altında yalnızca bir çıkarma işlemine dahil olur ve bu nedenle n adımdan sonra ‘üçgen’ biçimine ulaşır.

Ortaya çıkan denklemler yalnızca iki terim içereceğinden, geri ikame de yalnızca iki adım gerektirecektir, yani tüm süreç tüm çözüm için yaklaşık 3n adım gerektirecektir. Bu, genel çözümden çok daha verimlidir ve bu formun denklemleri, öğrencinin bu özel çözümün farkında olması için yeterince sık ortaya çıkar.

Lineer Denklemlerin İteratif Yöntemlerle Çözümü

Şimdiye kadar, sonlu sayıda adımdan sonra (genellikle n3 mertebesinde) bir dizi lineer denkleme çözüm sağlayacak yöntemleri ele aldık. Bu adım dizisinin sonunda çözümün doğruluğu, denklemlerin doğası ve daha az ölçüde kullanılan özel algoritma ile sabitlenir.

Şimdi, doğrusal bir denklem sistemine önemli ölçüde daha az adımda, ancak algoritmanın uygulanma sayısına bağlı olacak bir doğruluk düzeyinde cevaplar sağlayan bir dizi algoritmayı ele alacağız.

Bu tür yöntemlere genellikle yinelemeli yöntemler denir ve genellikle her yineleme için n2 adım sırası gerektirir. Açıkçası, çok büyük denklem sistemleri için, bu yöntemler, doğru bir çözüme hızla yakınsadıkları sürece, doğrudan yöntemlerden çok daha hızlı olabilir.

Gauss ve Gauss-Seidel Yineleme Yöntemleri

Tüm yinelemeli şemalar, yaklaşık bir cevabın bilindiğini varsayarak başlar ve ardından şema bu cevabı iyileştirmek için ilerler. Böylece yinelemeden yinelemeye sürekli değişen bir çözüm vektörümüz olacaktır. Genel olarak, bunu parantez içinde bir üst simge ile göstereceğiz, böylece x(i), i’inci yinelemede x’in değerini gösterecektir.

Bu nedenle, başlamak için, bir başlangıç değerine ihtiyacımız olacaktır. Gauss yineleme şeması kavramı son derece basittir. Denklemlerde ifade edilen doğrusal denklem sistemini alın ve her birini köşegen değeri için çözün. Böylece denklemlerin düzenlenme sırası, bu şemanın ilerleyişinde bir fark yaratacaktır.

İlk tahminin değerinin, yöntemin doğru yanıtı bulup bulmayacağını etkileyebileceği varsayılabilir, ancak göreceğimiz gibi, durum böyle değildir. Bununla birlikte, ilk tahminin seçimi, kabul edilebilir bir cevaba ulaşmak için gereken iterasyon sayısını belirleyecektir.

Bunu bir yineleme şeması için temel olarak kullanırken, iterasyon şemasını şu şekilde yazabilmemiz için k’inci yineleme için ilk toplamadaki xj’nin tüm değerlerinin xi’nin değerinden önce belirlenmiş olacağını not edebiliriz.

Burada xi’nin iyileştirilmiş değerleri elde edilir edilmez kullanılır. Beklenebileceği gibi, bu daha hızlı bir yakınsamaya yol açabilir, ancak artan hızın bir bedeli olabilir. Gauss-Seidel şeması, basit Gauss yöntemi kadar kararlı olmayabilir. Genel olarak, yakınsama hızı ile yineleme şemalarının kararlılığı arasında bir değiş tokuş var gibi görünüyor.

Aslında, doğrudan yönteme örnek teşkil eden denklemlere Gauss iteratif metotlarından birini uygularsak, itertif çözümlerin yakınsamayacağını görürüz.

Diferansiyel Denklemler PDF
Diferansiyel Denklemler Konu Anlatımı
Diferansiyel denklemlerin günlük hayatta Kullanımı
Diferansiyel Denklemler Soru çözümü
Diferansiyel denklem Örnekleri
Diferansiyel Denklemler kitap PDF
Kısmi diferansiyel denklemlerin Sınıflandırılması
Diferansiyel Denklemler konuları

Daha sonra bu denklemlerin verilen basit yeterli yakınsama kriterlerini ve gerekli ve yeterli koşulu sağlamadığını göreceğiz. Bunu akılda tutarak, bu koşulları sağlayan başka bir 3×3 denklem sistemini ele alalım. Bu denklemler, denkleminkinden çok daha güçlü bir şekilde köşegendir.

Çözümün doğru çözüm etrafında salınım yapma eğilimi vardır ve genlik yavaş yavaş yakınsamaya doğru sönümlenir. Ancak Gauss-Seidel yineleme yöntemi, çözümün iyileştirilmiş değerlerini elde edilir elde edilmez kullanarak bu salınımı çok hızlı bir şekilde sönümler.

Sonuç olarak, Gauss-Seidel şeması yaklaşık 5 iterasyonda bu problem üzerinde birleşirken, düz Gauss şeması 10 iterasyondan sonra hala önemli hata göstermektedir.

Burada 1, elemanları Kronecker deltası δij’ye eşit olan birim matrisi belirtir. Yuvarlama hatası ve başta yanlış olan cevaba neden olan diğer problemler gerçekte xrc’nin doğru cevap olmasını engelleyecektir, ancak orijinal çözüme göre bir gelişme olarak kabul edilebilir.

Denklemi sürekli bir yineleme şemasının temeli olarak kullanmak cazip gelebilir, ancak denklemin doğru cevabı üretmesini engelleyen hatalar tek bir yinelemede daha fazla gelişmeyi önleyeceğinden pratikte tek bir uygulamada çok az iyileştirme yapılabilir.

Denklemi yineleme formülü olarak kullanmanın tüm sorunları denklemde mevcuttur. Ancak, denklem elde edilen matris tersi, [A-1](k) üzerinde bir gelişme olmalıdır.

Bu yöntemin nasıl çalıştığını görmek için, Gauss-Jordan ve Crout yöntemlerini göstermek için kullanılan denklemleri göz önünde bulundurun. Kesin matris tersi denklemlerde verilmiştir, böylece gelişmeyi yargılamak için yinelenen matrisi doğru değerle karşılaştırabileceğiz. Gösterim amacıyla, denklemin tersinin yalnızca iki anlamlı rakam tarafından bilindiğini varsayalım.

Yöntemi temel olarak matris tersi için geliştirilmiş bir değer bularak ve daha sonra bunu geliştirilmiş bir çözüm elde etmek için orijinal sabit vektörle kullanarak çalışır. Bu nedenle matris tersini geliştirmek için denklemi kullanarak elde ederiz.

Her öğe, iki rakam değerine göre önemli bir gelişme yaşadı. İki rakamın kesin bir sonuç verdiği (yani a−1,a−1,a−1 ) orijinal tersinin öğelerinin değişmeden kalması ilginçtir.

Bu sonuç, büyütme matrisine kadar izlenebilir denklemin üçüncü satırındaki sağ el matrisi]. İkinci sütun, birim matris ile aynıdır, böylece ilk tersin ikinci sütunu değişmeden kalacaktır.

Geliştirilmiş matris tersinden bekleneceği gibi, çözüm, denklem tarafından verilen başlangıç değerleri üzerinde önemli bir gelişmeyi temsil eder. Gerçekten de, bu çözüm ile denklem tarafından verilen kesin çözüm arasındaki fark, geliştirilmiş tersini elde etmek için kullanılan hesaplama doğruluğundan daha küçük olan beşinci anlamlıdır.

Böylece,  yönteminin bir matris tersini geliştirmek için güçlü bir algoritma olduğunu ve dolayısıyla lineer cebirsel denklemler sistemine bir çözüm olduğunu görüyoruz.