Matrisler – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti

Matrisler

Denklemlerin çözümü artık merkez vektörde bulunurken, sağ taraftaki matris, ifadenin sol tarafındaki orijinal matrisin tersini içerir.

Matrisin önünde biriken skaler nicelik, orijinal matrisin tek tek satırlarının çarpanlarını temsil ettiği için belirleyicidir. Burada tekrar tekrar verilen teorem 2 ve 7’yi kullandık.

Teorem, satırların öğelerini çarpanlarına ayırarak determinantı oluşturmamıza izin verirken, teorem 7, ifadelerde gösterilen satır çıkarma işleminin determinantın değerini değiştirmeyeceğini garanti eder. İfadenin sol tarafındaki birim matrisin determinantı bir olduğundan, orijinal matrisin determinantı sadece çarpanlara ayrılmış elemanların çarpımıdır.

Bu işlemi gerçekleştirirken, bölme işlemi sonucunda açıkça ortaya çıkan kesirleri koruyarak tam doğruluğu korumaya özen gösterdik. Genel olarak, bu pratik olmayacaktır ve algısı kuvvetli öğrenci, bölme işleminin bir sonucu olarak büyük zorluk potansiyeli olduğunu fark edecektir.

A matrisinin elemanlarından herhangi biri bölen rolünü oynayacaksa sıfır olursa, sayısal bir tekillik ortaya çıkar. Aslında, köşegen elemanların küçük olması durumunda, bölme o kadar büyük satır elemanları üretecektir ki, bunların kalan sıralardan çıkarılması önemli bir yuvarlama hatası üretecektir.

Bununla birlikte, bir denklem sisteminin iki satırının veya iki sütununun yer değiştirmesi bu denklemlerin çözümünü değiştirmez ve teorem gereği sadece determinantın işareti değişir. Her adımdaki denklemler, orijinal kümeyle aynı çözüme sahip bir denklem sistemini temsil ettiğinden, prosedürün herhangi bir adımında çözümü değiştirmeden satırları ve sütunları değiştirebiliriz.

Bu nedenle, çoğu Gauss-Jordan programı, yuvarlama hatasının etkilerini en aza indirmek için, o öğeye bölmeden önce köşegen üzerindeki en büyük öğeyi yerleştirmek için bir matris araması içerir.

Bu algoritmanın bölme bölümünden sıfır çıkarmak mümkün değilse, matrisin bir sütunu tamamen sıfır yapılabilir. Böyle bir matrisin sıfır olan bir determinantı vardır ve matrisin tekil olduğu söylenir. Tekil matrislerle karakterize edilen denklem sistemlerinin benzersiz bir çözümü yoktur.

Kişinin tekil duruma fiilen ulaşmadan da yaklaşabileceği açıktır. Bunun sonucu, yalnızca marjinal doğrulukta bir çözüm üretmek olacaktır. Bu gibi durumlarda, başlangıç matrisi altı anlamlı rakamlı katsayılara sahiptir ve çözüm bir veya daha azına sahiptir.

Matrisin ne kadar tekil olabileceğini bilmenin önceden bir yolu olmasa da, durumu çözmesi garanti edilmese de genellikle işe yarayan birkaç “temel kural” vardır. İlk olarak, elemanlarının tipik boyutunu ölçen matrisin bazı özelliklerini ele alalım.

En büyük öğenin mutlak değeri, öğelerin mutlak değerlerinin toplamı veya muhtemelen iz gibi makul ölçütlerin çoğu iş görecektir. Bu özelliği determinantın mutlak değerine bölün ve sonuç makine hassasiyetini aşarsa, çözümün sonucu şüpheyle karşılanmalıdır.

Burada d, orijinal matrisin determinantıdır. Bu, çözümün doğru olması için gerekli ancak yeterli olmayan bir koşul olarak görülmelidir. Sonuçta ortaya çıkan çözümdeki önemli rakamların sayısı hakkında kabaca bir tahmindir.

Matris Konu Anlatımı
Matris Konu Anlatımı PDF
Matrisler pdf
Gerçek hayatta matris
Simetrik matris
Bilsem matris ne demek
Skaler matris
Matris Matematik

Eğer c’ vektörü belirlenebilirse, denklem Gauss eleme sonucunun biçimine sahip olur ve ifadeye benzer ve denkleme benzer bir çözümü olur. Ek olarak, denklem üçgendir ve cr’ vektörü için benzer şekilde basit bir çözüme sahiptir.

Böylece, genel doğrusal denklem sistemini iki üçgen sistemle değiştirdik. Şimdi U ve V üzerindeki kısıtlamalar yalnızca A matrisine ve üçgen kısıtlamalara bağlıdır. Hiçbir şekilde cr sabit vektörüne bağlı değillerdir. Bu nedenle, yalnızca sabit vektörde farklılık gösteren çok sayıda denklem varsa, U ve V matrislerinin yalnızca bir kez bulunması gerekir.

Bilinmeyen, aynı bilinmeyenler kümesinin önceden belirlenmiş değerlerine dayandığından, her iki denklem de özyinelemelidir. Böylece yuvarlama hatası çözüm boyunca sistematik olarak yayılacaktır. Bu nedenle, ilk denklemleri hata yayılmasını en aza indirecek şekilde düzenlemeye çalışmak yararlıdır.

Bununla birlikte, yöntem, kolayca tanımlanabilecek minimum bölünmeler içerir ve bu nedenle istisnai olarak kararlı olma eğilimindedir. Denklem sistemi büyük çapraz elemanlar içerdiği sürece kararlılık açıkça geliştirilecektir.

Bu nedenle Crout yöntemi, Gauss-Jordan yöntemine benzer veya daha fazla kararlılık ve yalnızca sabit vektörde farklılık gösteren sistemlerle başa çıkmada önemli verimlilik sağlayan bir yöntem sağlar. A matrisinin simetrik olduğu durumlarda uij denklemleri basitleşir.

Göreceğimiz gibi, en küçük kareler formalizmi için normal denklemler her zaman bu forma sahiptir, böylece Crout yöntemi onların çözümü için iyi bir temel sağlar.

Denklemler, çarpanlarına ayrılmış U ve V matrislerinin öğelerini özel olarak tanımlarken, bunların nasıl elde edildiğini görmek yararlıdır. Bu nedenle, Gauss-Jordan yöntemine örnek teşkil eden aynı denklemleri ele alalım. Crout yöntemini uygulamak için katsayı matrisini ifade edebilmek istiyoruz.

A matrisini denkleme göre U ve V matrislerine çarpanlarına ayırmak için, denklemin gerektirdiği U ve V’nin gerekli elemanları ihtiyaç duyulduğunda hazır olacak şekilde matris boyunca sütun sütun ilerleriz. Belirtilen faktoring işlemini sütun sütun verimle sıralı olarak gerçekleştiren denklemlerdir.

Beklendiği gibi, denklemdeki ile aynı çözümü elde ettik. Crout yönteminin gücü, yalnızca sabit vektörde farklılık gösteren ikinci bir denklem setini çözmek için gereken minimum işlem sayısında yatmaktadır.

Matrisin çarpanlara ayrılması aynı kalır ve yalnızca denklemlerle belirtilen adımların tekrarlanması gerekir. Ek olarak, yöntem özellikle kararlıdır.

Şimdiye kadar açıklanan tüm yöntemler genellikle çözümü elde etmek için yaklaşık n3 işlemi gerektirir. Bununla birlikte, son derece verimli çözüm algoritmalarının bulunduğu, sıklıkla ortaya çıkan bir denklem sistemi vardır.

Bu denklem sistemine üç-köşegen denir, çünkü herhangi bir denklemde asla üçten fazla bilinmeyen yoktur ve katsayı matrisi ana köşegendeki sıfır olmayan elemanlardan ve her iki tarafın hemen bitişiğindeki köşegenden oluşacak şekilde düzenlenebilirler. Böylece böyle bir sistem şu şekle sahip olacaktır.