Runge-Kutta Yöntemi – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti
Runge-Kutta Yöntemi
Runge-Kutta yöntemi testimizde kullanılan adım boyutlarını araştırmak için bu prosedürü kullanırsak, adım boyutunu kesinlikle çok büyük seçtiğimizi görürüz. h=1 ve h=1⁄2 adım boyutları için hesaplama yaptığımız için bunu ikinci dereceden çözümle doğrulayabiliriz. Elde ettiğimiz denklem reçetesinin ardından, belirtilen sonuçlar için detaylara bakalım.
Burada zımnen δy0 = 0.1’lik bir başlangıç toleransı varsaydık. Bu, keyfi ve bir çözüme yönelik tolerans için oldukça büyük olsa da açıklayıcıdır ve çözümün ruhuyla tutarlıdır. Çözümün doğruluğunu │0.1│ içinde tutmak için ilk adım için adım boyutunu biraz azaltmamız gerektiğini görüyoruz.
İlk adımın sonundaki hata h = 1 için 0,16 iken h = 1⁄2 için sadece 0,04 civarındadır. Sayısal yanıtları analitik yanıtla (yc) karşılaştırarak, adım büyüklüğündeki iki faktör değişikliğinin hatayı yaklaşık dört kat azalttığını görüyoruz.
0.1 olarak belirtilen toleransımız, hatada yalnızca yaklaşık %33’lük bir azalma gerektirir; bu, adım boyutunda yaklaşık %16’lık bir azalma veya yeni bir adım boyutu h1′ = 0.84h1 anlamına gelir. Bu, analitik çözüm bilgisi olmadan belirlenen önerilen değişikliğe inanılmaz derecede yakındır.
Normalde bu ayarlamalar, ilk toleransı korumak için kümülatif olarak yapılır. Bununla birlikte, adım boyutları için uygun değerler, entegrasyon yöntemlerinin daha önceki karşılaştırmaları için kullanışlıdır. x = 1’den sonra çözümün hızlı artması, Runge-Kutta yönteminin doğruluğu sağlamada giderek daha zor bir zamana sahip olmasına neden olur.
Bu, ikinci adımın sonunda önerilen adım boyutundaki ciddi azalmada fazlasıyla açıktır. Birinci adımın sonunda bağıl hatalar h=1 ve h=1⁄2 adım boyutu çözümleri için sırasıyla %9 ve %2’dir.
İkinci adımın sonunda analitik çözümle karşılaştırmadan kaynaklanan hatalar sırasıyla %55 ve %12’ye sıçradı. Adım boyutunda iki değişikliklik bir faktör, çözümde hala yaklaşık dört faktörlük bir değişiklik üretirken, %9’luk bir göreli hataya ulaşmak için, çözümde daha çok 6 faktörlük bir değişikliğe ihtiyacımız olacaktır.
Bu, adım boyutunda yaklaşık üç katlık bir değişiklik anlamına gelir, ancak önerilen değişiklik daha çok 16 kat gibidir. Bu fark, denklemin mutlak hatayı δyn’den küçük tutmaya çalıştığı fark edilerek anlaşılabilir. Bizim sorunumuz için bu, birinci adımın sonunda yaklaşık 0,11’dir.
Hatayı bu toleranslar içinde tutmak için, ikinci adımdaki doğruluğun doğru cevabın yaklaşık %1,5’i içinde olması gerekir. %55’ten oraya ulaşmak, hatada 36 katlık bir azalma anlamına gelir; bu, adım boyutunda yaklaşık 18’lik bir faktörlük bir azalmaya karşılık gelir ve tahminde verilene yakındır.
Böylece, denklemin adım boyutunu ayarlayarak çözümde mutlak bir doğruluk sağlamak için tasarlandığını görüyoruz. Göreceli veya yüzdesel bir doğruluğu korumak için adım boyutunu ayarlamak istenirse, adım boyutu buna göre ayarlanabilir.
Bu prosedürler, sabit kesme hatasını korumak için adım boyutunu değiştirirken, her adımda hesaplama miktarında önemli bir bedel ödenmesi gerekir. Bununla birlikte, fazladan çaba miktarının yalnızca hatayı tahmin etmek ve böylece onu kontrol etmek için kullanılması gerekmez. İyileştirilmiş bir yn+1 tahmini sağlamak için denklemler (k’den büyük mertebe terimleri ihmal edilerek) çözülebilir.
Ancak, bu iyileştirme aynı anda doğrudan hata tahminine dahil edilemeyeceğinden, bunun bir “güvenlik faktörü” olarak kabul edilmesi ve iyileştirme yapılmamış gibi hata tahminine devam edilmesi tavsiye edilir. Bu aşırı derecede muhafazakar görünse de, diferansiyel denklemlerin sayısal çözümünde ihtiyatlılık bir erdemdir.
runge-kutta 4th order
runge-kutta matlab
Runge-Kutta Metodu Nedir
Runge-Kutta 4th order example
4. dereceden runge kutta yöntemi
runge-kutta calculator
runge-kutta method example
2.derece runge kutta
Çok Adımlı ve Öngörücü-Düzeltici Yöntemler
Yüksek dereceli tek adımlı yöntemler, belirli bir çözümün komşuluğundaki çözüm uzayını keşfederek doğruluklarına ulaşır. Prensip olarak, tahminimizi bir sonraki adıma sınırlamak için çözümle ilgili önceki bilgileri kullanabiliriz.
Bu bilgi, önceden yapılan hesaplamanın doğrudan sonucu olduğundan, Runge-Kutta gibi gerekli çözümün yakınındaki çözüm uzayını araştıran yöntemlerden çok daha yüksek verimlilik düzeyleri elde edilebilir.
Çözümü n noktada kullanarak prensip olarak bu noktalardaki çözüme (n-1) derecelik bir polinom uydurabilir ve bunu (n+1)inci noktada çözüm elde etmek için kullanabiliriz. Bu tür yöntemlere çok adımlı yöntemler denir. Bununla birlikte, polinom ekstrapolasyonunun son derece kararsız olduğuna işaret ettiğimiz uyarılar hatırlanmalıdır.
Dolayısıyla böyle bir prosedür kendi başına genellikle diferansiyel denklemlerin çözümü için uygun bir yöntem sağlamayacaktır. Ancak istikrarsızlığı telafi eden algoritmalarla birleştirildiğinde, bu tür şemalar çok kararlı çözüm algoritmaları sağlayabilir.
Bu tür algoritmalara yordayıcı-düzeltici yöntemler denir ve bunların çok sayıda biçimi vardır. Bu yüzden hepsini ele almaya çalışmak yerine, bu tür şemaların genel teorisi hakkında birkaç şey söyleyip bazı örnekler vereceğiz.
Tahmin edici-düzeltici algoritma, adından da anlaşılacağı gibi, temel olarak iki bölümden oluşur. Öngörücü, önceki noktalardaki bilgilere dayanarak çözümü bazı sonlu h aralığında tahmin eder ve doğal olarak kararsızdır.
Düzeltici, bu yerel istikrarsızlığa izin verir ve aralığın sonunda, önceki bilgilere ve tahmin edilen çözüme dayalı olarak çözümde bir düzeltme yapar. Kavramsal olarak, bir yordayıcı kavramı oldukça basittir. En basit haliyle, böyle bir şema tek adımlı tahmin edicidir.
xn’deki türevin değerini kullanarak, şema sistematik olarak herhangi bir tekdüze artan çözümün ekstrapolasyonu için gereken uygun değeri eksik tahmin edecektir.
Hata kümülatif olarak oluşacaktır ve bu nedenle kararsızdır. Daha iyi bir strateji, türevin değerini iki çözüm noktasının ortasında kullanmak veya alternatif olarak yn+1’i tahmin etmek için önceki iki noktadan gelen bilgileri kullanmak olacaktır. Böylece iki noktalı bir öngörücü şeklini alabilir.
Bu iki noktalı bir şema olmasına rağmen, tahmin polinomu hala düz bir çizgidir. İki noktadan geçen bir parabolü sığdırmak için yn’nin değerini doğrudan kullanabilirdik, ancak daha yüksek dereceli bir polinom ekstrapolasyonuyla ilişkilendirilecek kararsızlıklar nedeniyle bunu yapmadık.
Artan istikrar lehine bazı bilgi kısıtlamalarının kasıtlı olarak reddedilmesi, öngörücü-düzeltici şemaları önemsiz ve etkili kılan şeydir. Genel durumda, yi ve yi ile ilgili sahip olduğumuz bilgileri kullanma konusunda büyük bir özgürlüğe sahibiz.
2.derece runge kutta 4. dereceden runge kutta yöntemi runge-kutta 4th order Runge-Kutta 4th order example runge-kutta calculator runge-kutta matlab runge-kutta method example Runge-Kutta Metodu Nedir