Hermite Enterpolasyonu – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti
Hermite Enterpolasyonu
Hermite enterpolasyon formülünü daha sonra bazı oldukça verimli dörtlü formüller elde etmek için kullanacak olsak da, bu enterpolasyon biçimini tartışmamızın birincil nedeni, Lagrange polinomlarının özelliklerinden enterpolasyon formülleri üretmeye yönelik güçlü bir yaklaşım göstermektir.
Denklem tarafından verilen Lagrange interpolasyonunun fonksiyonel kısıtlamalarına ek olarak, Y'(xi) türevinin fonksiyonel değerlerinin de xi noktalarında belirtildiğini varsayalım. Bu, ek bir (n+1) kısıtlamayı temsil eder.
Bununla birlikte, enterpolasyon fonksiyonunun bir polinom olacağını varsaydığımız için, bir polinom ile türevi arasındaki ilişki, bu 2n+2 kısıtlamalarının lineer olarak bağımsız kalması için dikkatli olmamız gerektiği anlamına gelir.
n dereceli bir polinomun (n+1) katsayıları varken, türevinin yalnızca n katsayıları olacaktır. Böylece türevin bağımsız değişkenin çeşitli değerlerinde belirtilmesi, 2n+1 dereceli bir polinom olan 2n+2 katsayılı bir polinomun kullanılmasına izin verir.
2n+2 kısıtlamaları için belirleyici denklemi ve interpolatif fonksiyonun fonksiyonel formunu elde etmek yerine, interpolatif fonksiyonu Li(x)’in özelliklerinden bildiklerimizden türetelim. İnterpolatif fonksiyonun bağımlı değişkenin değerlerinden ve türevinden bağımsız olabilmesi için denkleme benzer bir forma sahip olması gerekir.
İnterpolasyon formülünün güzelliği, bağımlı değişkenin değerlerinden ve bu durumda onun türevinden bağımsız olmasıdır. Bu nedenle denklem, herhangi bir Yi veri noktası kümesi ve bunların Y’i türevleri için geçerli olmalıdır. Öyleyse, verilen çok özel bir veri noktaları kümesini ele alalım.
Şimdi bağımsız değişkenin n+1 değerlerinin her birine hj(x), Hj(x) enterpolasyonlu fonksiyonlarına ve bunların türevlerine kısıtlamalar yerleştirdik. Hem hj(x) hem de Hj(x)’in polinom olduğunu bildiğimiz için, bunları benzersiz bir şekilde formlarını belirlemek için xi noktalarında aynı özelliklere sahip doğru dereceli polinomlar cinsinden ifade etmemiz yeterlidir.
İnterpolatif polinomların (2n+1) derecesine sahip olacağını daha önce göstermiştik. Bu nedenle, yalnızca denklemlerle belirtilen forma sahip bir polinom bulmamız yeterlidir. Denklemden, forma sahip böyle bir polinom oluşturabiliriz.
vj(x), x’te sadece iki rasgele sabite sahip olacak bir lineer polinomdur. Bu iki sabiti belirlemek için hj(xi)’nin genliği ve türevi üzerindeki kısıtlamayı kullanabiliriz. Denklemdeki kısıtlamalardan yararlanarak bunu yazabiliriz.
Bu işlev, tablo noktalarının her birinde orijinal Yi işlevi ve onun türeviyle eşleşecektir. Bu fonksiyon, 2n katsayılı 2n-1 dereceli bir polinomdur. Bu 2n katsayılar, fonksiyon ve türevi üzerindeki 2n kısıtlamaları tarafından belirlenir.
Bu nedenle, bu polinom benzersizdir ve yukarıdaki şekilde mi yoksa determinant denklemin genişletilmesiyle mi elde edildiğinin sonuçla ilgisi yoktur.
Böyle bir belirtime nadiren ihtiyaç duyulsa da, bu prosedür Lagrange polinomlarının biçiminin daha karmaşık kısıtlamaları karşılayan enterpolasyonlu işlevleri belirtmek için nasıl kullanılabileceğini gösterir. Şimdi, geniş bir uygulama bulan enterpolasyonlu fonksiyonlar sınıfına yol açan farklı kısıtlamalar kümesinin dayatılmasını ele alacağız.
Hermite interpolasyon polinomu
Kiriş metodu formülü
Romberg integrasyonu
Spline’lar
Spline’lar, fonksiyonun belirli noktalardaki türeviyle ilgili bilgileri içeren interpolatif polinomlardır. Açıkça türev bilgisini çağıran Hermite interpolasyonundan farklı olarak, spline’lar bu bilgiyi dolaylı olarak kullanır, böylece türevin özel bilgisi gerekli değildir.
Bir tablonun küçük bir bölümünde kullanılabilen Lagrangian türündeki genel enterpolasyon formüllerinden farklı olarak, spline’lar, bağımsız değişkenin tüm tablo girişlerine uyacak şekilde oluşturulur. Herhangi bir düzende spline’lar oluşturulabilirken, polinomların katsayıları için üç-köşegen denklemler oluşturdukları için en yaygın olanları kübik spline’lardır.
Bölüm 2’de gördüğümüz gibi, üç-köşegen denklemler, yaklaşık N adım içeren hızlı çözümlere uygundur. Bu durumda N, bağımsız değişkenin tablo girişlerinin sayısı olacaktır. Bu nedenle, nispeten az sayıda aritmetik işlem için, işlevi tüm tablo aralığı boyunca temsil edecek bir dizi kübik polinom oluşturulabilir.
Enterpolasyon ve eğri uydurma arasında bir ayrım yapılacak olsaydı, bu olurdu. Yani, enterpolasyon yoluyla bir fonksiyonun yerel değeri elde edilebilir, ancak tablo fonksiyonunun tüm aralığını tanımlamak istenirse, buna eğri uydurma denir.
Kübik spline’ların yaygın olarak ortaya çıkması nedeniyle, bunları tartışmamızın temeli olarak kullanacağız. Daha yüksek derecelere genelleme zor değildir, ancak üç köşegenden daha büyük katsayıları için denklem sistemleri üretecektir. Bu, enterpolasyon için spline’ların çekiciliğinin çoğunu ortadan kaldırır.
Spline’ların nasıl oluşturulabileceğini anlamak için, bağımsız değişkenini xi ve bağımlı değerlerini Yi olarak göstereceğimiz n tablo noktalı bir fonksiyonu düşünün. Ψi(x) ile gösterilen bir kübik polinom ile herhangi iki komşu nokta (xi ve xi+1) arasındaki fonksiyonel değerleri yaklaşık olarak hesaplayacağız. Ayrıca xi+1 ile xi arasındaki aralık da çağrılsın.
Kübik interpolatif polinomlar Ψi(x) n tablo noktası arasındaki n-1 aralığın her birini kapsadığından, interpolatif fonksiyonları belirtmek için belirlenecek 4(n-1) sabit olacaktır. Lagrange enterpolasyon teorisinde olduğu gibi, enterpolasyon fonksiyonunun tablo girişlerini yeniden üretmesini gerektireceğiz.
n tablo noktasını eşleştirme gerekliliği, polinomların 4n-4 katsayıları üzerindeki n doğrusal olarak bağımsız kısıtlamaları temsil eder. Kalan kısıtlamalar, fonksiyonel türevlere yerleştirilen koşullardan gelir. Bunu özellikle talep edeceğiz.
Hermite enterpolasyonundan farklı olarak, tablo noktalarında türevlerin büyüklüğünü belirtmedik, sadece tablo aralığı boyunca xi noktalarında iki bitişik fonksiyon Ψi-1(xi) ve Ψi(xi) için aynı olduklarını belirttik.
Sadece bitiş noktalarında herhangi bir kısıtlama yapmadık. Bitişik polinomların ilk iki türevinin üst üste geldikleri yerde eşit olması gerekliliği, spline’ların genel etkisinin tüm tablo aralığı boyunca düzgün bir şekilde değişen bir fonksiyon üretmesini garanti edecektir. Tüm interpolatif polinomlar kübik olduğundan, üçüncü türevleri aralık boyunca sabittir.
Böylece fonksiyonel değerin belirtilmesi ve bitişik fonksiyonların ilk iki türevinin eşitliği esas olarak üçüncü türevin değerini Ψi(x) fonksiyonlarının her birine zorlar. Bu, n-1 kısıtlamalarını temsil eder.
Bununla birlikte, tüm polinomlar için bu sabitin özel değeri belirtilmemiştir, böylece bu gerçekten yalnızca n-2 kısıtlamayı temsil eder. Benzer bir şekilde, n-2 nokta için iki bitişik polinomun türevinin eşitliğinin belirtilmesi, başka bir n-2 kısıtlamasını temsil eder. İki türev söz konusu olduğundan, toplamı 4n-6’ya getiren ek bir 2n-4 kısıtlamamız var.
Ancak, tüm kübik çizgilerin belirtilmesi için belirlenmesi gereken 4n-4 sabiti vardı. Bu nedenle, şimdiye kadar belirtilen sistem yetersiz belirlenir. Bitiş noktaları hakkında hiçbir şey söylemediğimiz için, eklenen kısıtlamaların yapılması gereken yerin burası olduğu açık görünüyor.
Gerçekten de, problemin tek bir çözümü olması için, fonksiyonun uç noktalardaki birinci veya ikinci türevine ek kısıtlamalar getirilmesi gerektiğini göreceğiz.
Hermite interpolasyon polinomu Kiriş metodu formülü Romberg integrasyonu