İntegrallerin Değerlendirmesi – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti

Monte Carlo Entegrasyon Şemaları 

Monte Carlo’nun kareleme yaklaşımı bir algoritma olduğu kadar bir felsefedir. John von Neumann sayesinde çok daha yaygın olarak kullanılan bir yöntemin uygulamasıdır. Yöntem, İkinci Dünya Savaşı sırasında atom bombasının tasarımıyla ilgili bazı sorunların çözümünü kolaylaştırmak için geliştirilmiştir.

Temel felsefe, sorunu nedensel olarak ilişkili fiziksel olayların bir dizisi olarak tanımlamaktır. Daha sonra, her ayrı fenomenin meydana gelme olasılığını belirleyerek, hepsinin meydana gelebileceği ortak olasılık basit bir çarpımdır. Prosedür sıralı olarak şekillendirilebilir, böylece önceki olaylara bağlı olasılıklar bile ele alınabilir.

Tüm süreç, her biri istenen nihai duruma götüren nedensel bir olaylar dizisini başlatan, rastgele seçilmiş bir dizi başlangıç durumunu takip ederek kavramsallaştırılabilir. Nihai durumun olasılık dağılımı sorunun cevabını içerir.

Yöntem, adını yöntemin olasılıksal doğasını vurgulamak için Monte Carlo’daki kumarhaneden alırken, en kolay örnekle anlaşılır. Monte Carlo modelleme tekniklerinin en basit örneklerinden biri, integrallerin sayısal olarak değerlendirilmesini içerir.

İntegrallerin Değerlendirmesi

Sonlu bir aralıkta tanımlanan tek boyutlu bir integrali ele alalım. İntegrandın grafiği böyle görünebilir. Şimdi eğrinin altındaki alan, fonksiyonun integraliyle ilişkilidir. Bu nedenle, fonksiyonun integralini bulma problemini eğrinin altındaki alanı bulma problemiyle değiştirebiliriz. Ancak integralin üzerine bazı birimler koymamız gerekiyor ve bunu eğrinin altındaki bağıl alanı bularak yapıyoruz. Örneğin, integrali düşünün.

Açıkçası, integralin doğruluğu, R’nin doğruluğuna bağlı olacaktır ve bu, N deneme sayısıyla artacaktır. Genel olarak, R’nin değeri gerçek değerine N olarak yaklaşacaktır. Bu, Monte Carlo kareleme ile diğer kareleme türleri arasındaki büyük farkı vurgular.

İntegralin doğrudan hesaplanmasına bağlı olan kareleme formülleri durumunda, sonucun hatası, integralin bir polinomla (yuvarlama hatası ihmal edilerek) yaklaşık olarak tahmin edilebildiği ölçüde belirlenir. Yeterince belirlenirse, hata teriminin büyüklüğünü belirleyebilir ve böylece hatanın büyüklüğüne mutlak bir sınır koyabilir.

Bununla birlikte, Monte Carlo şemaları polinom yaklaşımına dayalı değildir, bu nedenle prensipte bile böyle bir mutlak hata tahmini yapılamaz.

Umabileceğimiz en iyi şey, integralin değerinin doğru yanıtın ε içinde yer alması olasılığının olmasıdır. Çoğu zaman bu yeterlidir, ancak hesaplamanın kesinliğinin istatistiksel bir temele dayandığı ve yaklaşıklık ölçütünün sayısal analizin çoğu alanında kullanılandan farklı olduğu her zaman unutulmamalıdır.

f(x)’in hesaplanması söz konusuysa, integrali değerlendirmek için gereken süre gerçekten çok uzun olabilir. Bu, genel olarak Monte Carlo yöntemlerinin kullanımının en büyük sakıncalarından biridir. Daha küçük bir başka problem, xi ve yi rasgele değişkenlerinin seçimi ile ilgilidir. Bu, çok sayıda rasgele sayı gerektiğinde bir sorun haline gelebilir.

Özel integraller
Kesirli integraller
Ters trigonometrik integraller
Parantez içinin integrali
Belirsiz integral
Türev integral formülleri PDF
Ln integralleri
İntegrali kim buldu

Çoğu rasgele sayı üreteci, belirli sayıda seçim yapıldıktan sonra periyodikliklere ve diğer rasgele olmayan davranışlara tabidir. Rastgele olmayan herhangi bir davranış, Monte Carlo şemasının olasılıksal doğasını yok edecek ve böylece cevabın doğruluğunu sınırlayacaktır.

Böylece, cevabın olduğundan daha iyi olduğuna inanarak aldatılabilir. Monte Carlo metotlarını büyük bir dikkatle kullanmak gerekir. Genellikle son tercih edilen yöntem olmalıdır. Ancak, Monte Carlo yöntemleriyle çözülebilen ve başka hiçbir yöntemle çözümlenemeyen sorunlar vardır.

İntegrali modellemenin bu modern yöntemi, modern bilgisayarların ortaya çıkmasından önce kullanılan bir yöntemi anımsatıyor. Biri, integrali bir grafik kağıdına basitçe çizdi ve sonra integrali temsil eden alanı kesti. Kesimin dikkatlice ölçülen ağırlığını, grafik kağıdının bilinen bir alanınınkiyle karşılaştırarak, integralin kaba bir tahminini elde etti.

Monte Carlo şemalarını yalnızca tek boyutlu integraller için tartışmış olsak da, teknik kolayca birden çok boyuta genelleştirilebilir. Burada doğruluk temel olarak integral ve sınırlar tarafından temsil edilen “hacim”i örneklemek için gereken nokta sayısına bağlıdır.

Bu örnekleme genellikle doğrudan çok boyutlu kareleme şemalarının gerektirdiği Nm noktalarından daha verimli bir şekilde yapılabilir. Bu nedenle, boyutların sayısı arttıkça Monte-Carlo şemasının bu şemalarla verimli bir şekilde rekabet etmesi muhtemeldir. Aslında, m > 2 ise, durum muhtemelen bu olacaktır.

Diğer kareleme formüllerinin sorunsuz olduğu izlenimi bırakılmamalıdır. İntegrallerin sayısal değerlendirmesinin doğruluğunu artırmak için kullanılabilecek bazı yöntemleri açıklamadan bu konuyu bırakamayız.

Formüllerinin İntegrallere Genel Uygulanması

Daha doğru cevaplar üretmek için kullanılabilecek ek hileler, aralığın doğru seçimini içerir. Nadiren integral, aralığın bir noktasında patolojik davranış sergileyecektir.

Bu noktada aralığı kırmak ve integrali, her biri ayrı ayrı bir polinomla temsil edilebilecek iki (veya daha fazla) ayrı integralle temsil etmek genellikle iyi bir fikirdir. Bu, patolojik integralleri sıfıra yakın olan yarı sonsuz aralıktaki integrallerle uğraşırken özellikle yararlıdır. Böyle bir integrali ikiye ayırabiliriz.

Bunlardan ilki -1→ +1 aralığına dönüştürülebilir ve gösterilen sonlu aralık kareleme şemalarının herhangi bir kombinasyonu vasıtasıyla değerlendirilebilir. Bu integrallerden ikincisi, doğrusal dönüşüm vasıtasıyla tekrar yarı-sonsuz aralığa dönüştürülebilir. 

Gauss-Laguerre kareleme, ikinci integralin değerini belirlemek için kullanılabilir. Bir integrali kırmak için, integralin bir polinomla iyi bir şekilde yaklaşmadığı konumlara karşılık gelen yerleri akıllıca seçerek, integrallerin değerlendirilebileceği doğruluk ve kolaylığı önemli ölçüde artırabilir.

İntegralin değerlendirileceği aralığa karar verdikten sonra, kullanılacak kareleme formülünün sırasını seçmek gerekir. Sayısal farklılaşma durumundan farklı olarak, kareleme formülünün kesinlik derecesi ne kadar yüksekse o kadar iyidir.

Bununla birlikte, integralin hesaplanmasında yer alan yuvarlama hatasının, artan kesinlik derecesinden kaynaklanan artımlı iyileştirmeyi aştığı bir nokta vardır. Bu noktayı belirlemek genellikle zordur.

Bununla birlikte, artan kesinlik derecesine sahip formüllerle bir integral değerlendirilirse, integralin değeri istikrarlı bir şekilde değişecek, bir platoya ulaşacak ve ardından yuvarlama hatasının etkisini yansıtacak şekilde yavaşça değişecektir.

Genel bir kural olarak, sonlu bir aralıkta herhangi bir integrali değerlendirmek için 8 ila 10 noktalı Gauss-Legendre karelemesi yeterlidir. Durum böyle değilse, integral biraz patolojiktir ve diğer yaklaşımlar dikkate alınmalıdır. Bazı durumlarda, çok yüksek dereceli kareleme kullanılabilir (Legendre polinomları için kökler ve ağırlıklar N = 212’ye kadar bulunabilir), ancak bu örnekler nadirdir.

Spesifik durumlarda faydası olan başka birçok kareleme formülü vardır. Bununla birlikte, kareleme özel problemler sunuyorsa veya yüksek verimli değerlendirme gerektiriyorsa, bu formüller dikkate alınmalıdır.