Polinom Yaklaşımı – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti

Polinom Yaklaşımı, Enterpolasyon ve Ortogonal Polinomlar

Son bölümde, bir matrisin öz denkleminin, kökleri matrisin özdeğerleri olan bir polinom olduğunu gördük. Bununla birlikte, polinomlar, sayısal analizde sadece öz değer sağlamaktan çok daha büyük bir rol oynar.

Aslında, çoğu sayısal analiz yönteminin temeli, polinomların anlaşılmasına dayanır. Göreceğimiz gibi, sayısal yöntemler genellikle polinomlar için kesin cevaplar üretecek şekilde uyarlanmıştır. Bu nedenle, bir problemin çözümü bir polinom ise, sıfır biçimsel kesme hatasına sahip bir analiz yöntemi bulmak genellikle mümkündür.

Dolayısıyla, bir problemin çözümünün bir polinomu ne ölçüde andırdığı genellikle çözümün doğruluğunu belirler. Bu nedenle, polinomları anlamak için biraz zaman harcayacağız, böylece polinomları daha iyi anlayabiliriz.
bunlara dayanan yöntemler.

Polinomlar ve Kökleri

Polinom denilince akla genellikle ai xi formundaki terimlerin toplamından oluşan bir fonksiyon gelir. Bununla birlikte, basit fonksiyon xi yerine herhangi bir genel fonksiyon φi(x) kullanabileceğimiz çok daha geniş bir tanıma sahip olmak mümkündür, böylece bir polinomun genel tanımı şu şekilde olur.

Burada n miktarı polinomun derecesi olarak bilinir ve genellikle polinomdaki terim sayısından bir eksiktir. Bu bölümde geliştireceklerimizin çoğu, denklemdekiler gibi genel polinomlar için doğru olsa da, polinomun daha yaygın gösterimini kullanacağız.

Bu biçim tanıdık gelse de, polinomu değerlendirmek için en uygun biçim değildir. Denklemin son terimini düşünün. Bu terimi tek başına değerlendirmek için n+1 çarpma ve bir sonraki en düşük dereceli terim için n çarpma gerekir. Seri toplanırsa, P(x)’i değerlendirmek için (n+1)n/2 çarpma ve n toplama gerektiği açıktır.

Daha sonra P(x)’in değerlendirilmesi için hala n tane toplama gerekirken, çarpma sayısı n’ye düşürülmüştür. Bir bilgisayarın çarpma işlemini gerçekleştirmesi için gereken süre, genellikle toplama için gerekenden daha büyük bir mertebede olduğundan, denklem, P(x)’i değerlendirmenin denklem tarafından verilen standart biçimden çok daha verimli bir yoludur.

Denklem bazen polinomun “çarpanlara ayrılmış formu” olarak adlandırılır ve herhangi bir polinom için hemen yazılabilir. Bununla birlikte, polinomu çarpanlar cinsinden temsil etmenin başka bir yolu vardır.

Burada polinomun son n katsayıları, polinomun kökleri olarak bilinen n nicelik ile değiştirilmiştir. Genel olarak, n dereceli bir polinomu belirten (n+1) parametre olduğuna dikkat etmek önemlidir. Bu parametreler (n+1) katsayıları veya n kökler ve çarpımsal ölçek faktörü an olabilir.

Bir polinomu tam olarak belirtmek için bu kadar çok parametre belirtilmelidir. Bu gereksinimin enterpolasyon için kısıtlamalar getirdiğini göreceğiz.

Kökler olarak bilinen n nicelik katsayılarla basit bir şekilde ilişkili değildir. Aslında, polinomun denklem şeklinde yazılabilmesi gerektiği açık değildir.

Lagrange İnterpolasyonu
Hermite İnterpolasyonu
Newton interpolasyon polinomu
Newton polinomu
Kiriş Yöntemi Örnek sorular
Newton BÖLÜNMÜŞ FARKLAR Metodu

n dereceli bir polinomun tam olarak böyle n köke sahip olması cebirin temel teoremi olarak bilinir ve ispatı basit değildir. Göreceğimiz gibi, basitçe kökleri bulmak kolay değildir ve sayısal analizdeki en zor problemlerden birini oluşturur. Kökler gerçek veya karmaşık olabileceğinden, en genel yaklaşım karmaşık aritmetik kullanmak zorunda olacaktır.

Bazı polinomların birden fazla kökü olabilir (yani, aynı sayısal değere sahip birden fazla kök). Bu, bazı kök bulma yöntemleri için sorun yaratır. Genel olarak, bir kökü (veya karmaşıksa bir çifti) bulunduğunda çıkarmak, böylece polinomu daha düşük bir dereceye düşürmek yararlıdır.

Bir ikinci dereceden hatta bir kübik sayıya indirgendiğinde, bu kökler için analitik formüller kullanılabilir. Bir quartic’in genel çözümü için analitik bir form vardır (yani 4. dereceden polinom), ancak o kadar hantaldır ki nadiren kullanılır.

Derece 5 veya daha yüksek polinomların kökleri için genel bir form olmadığı gösterildiğinden, bu tür polinomların köklerini bulmak için genellikle sayısal yöntemlere başvurmak gerekecektir. Katsayılar açısından kökleri bulmak için genel bir şemanın olmaması, kökleri aramadan önce polinom hakkında mümkün olduğunca çok şey öğrenmemiz gerektiği anlamına da gelir.

Polinomların Köklerine İlişkin Bazı Kısıtlar

Bu konu, son birkaç yüzyılın en büyük matematikçileri tarafından incelenmiştir ve kökleri tanımlamada yardımcı olabilecek çok sayıda teorem de vardır. Örneğin, denklemi yeniden çarparsak, xn-1’in katsayısı, köklerin negatif toplamının sadece bir katıdır.

“Çift tamsayı” ile ilgili ifade, birinin diğerinin karmaşık eşleniği olduğu çiftler halinde (katsayıların gerçek olması koşuluyla) oluşan karmaşık köklerin var olma olasılığından da kaynaklanır.

Bu araçlarla, söz konusu polinomun köklerinin özellikleri hakkında pek çok şey söylemek çoğu zaman mümkündür. Kök bulma yöntemlerinin çoğu sıralı olduğundan ve daha düşük dereceli yeni bir polinom elde etmek için köklerin çıkarılmasını gerektirdiğinden, bunun nasıl başarıldığı hakkında bir şeyler de söylemeliyiz.

Bir polinomdan bir çarpanı çıkarmak istiyorsak, x’in uygun kuvvetlerini takip etmemiz koşuluyla uzun bölme yapıyormuş gibi de devam edebiliriz. Böylece, eğer (x-r) P(x)’in çarpanlarına ayrılacaksa, tam olarak uzun bölmeyle aynı şekilde ilerleyebiliriz. r = 2 olduğu özel durumu da ele alalım.

Şimdi, eğer R(r) sıfırsa, r tanım gereği bir köktür. Aslında, kökleri iyileştirmek için bir yöntem, kalan R kabul edilebilir bir şekilde sıfıra yakın olana kadar r’yi değiştirerek tekrarlanan bölmeyi de gerçekleştirmektir.

Uzun bölme ifadesinin üstünkörü bir incelemesi, gerekenden çok daha fazlasının yazıldığını gösterir. Bölmenin düzenli bir şekilde ilerlemesi için x’in en büyük kuvvetlerinin kurşun katsayılarıyla ne yapılacağı konusunda serbestlik yoktur. Gerçekten de, ortaya çıkan Q(x) polinomunun katsayıları da burada tekrarlanmıştır.

Ayrıca, bir kök ararken, x’in bölendeki ön katsayısı her zaman birdir ve bu nedenle yazılmasına gerek yoktur. Bu nedenle, bölme işlemi için yalnızca katsayıları ve r-değerini yazarsak, notasyonu şu şekilde de sıkıştırabiliriz.

akademi222 takımı

Biyografinin Tamamını Gör