Yinelemeli Yöntemler – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti

Yinelemeli Yöntemler

Polinomların köklerini bulmak için kullanılan standart algoritmaların çoğu, kökü aramak için polinomu düzenli bir şekilde tarar. Bu tür herhangi bir şema, bir ilk tahmin, daha iyi bir tahminde bulunmak için bir yöntem ve bir kök bulunduğunda karar vermek için bir sistem gerektirir. Tartışıldığı gibi, bu tür herhangi bir yöntemi sabit noktalı yinelemeli bir fonksiyon biçiminde kullanmak mümkündür.

Bu forma sahip yöntemler çoktur, bu nedenle yalnızca en basit ve en yaygın kullanılanı tartışacağız. Başlangıç tahminini oluşturma problemini bir kenara bırakarak, kök için iyileştirilmiş bir değeri tahmin etme ana problemine döneceğiz. Gerçek kökleri olan ve x k bağımsız değişkeninin bazı değerleri için P(x k) değerine sahip bir polinomun basit durumunu ele alalım.

Pek çok yinelemeli teknik, x için iyileştirilmiş bir değer belirleme aracı olarak P(x) fonksiyonunun x eksenine düz bir çizgi uzantısını kullanır. Fonksiyona düz çizgi yaklaşımının xk noktasındaki eğriye yerel teğetten elde edildiği durumda, yöntemi Newton-Raphson yöntemi olarak adlandırırız.

Bunu, P(x) = 0 olduğu yeri aradığımızdan, sabit noktalı yinelemeli bir fonksiyon biçiminde atabiliriz. Bunu başaracak yinelemeli işlevi bulmak için, kökün iyileştirilmiş bir değerini varsayalım. x(k) verilecektir.

Bu, şemanın uygulanması için gerekli olandan yalnızca bir türev daha içerdiğinden, oldukça makul bir yakınsama kriteri sağlar ve iterasyon şeması ile birlikte kullanılmalıdır.

Newton-Raphson yineleme şeması, polinom kök bulmada kullanımının ima ettiğinden çok daha geneldir. Gerçekten de birçok lineer olmayan denklem, denklemler aracılığıyla çözülebilir.

Denklemden, şemanın birinci derece polinomlar veya düz çizgiler için ‘kesin’ cevaplar vereceği açıktır. Böylece, herhangi bir adımdaki hatanın [∆x(k)]2’ye bağlı olmasını bekleyebiliriz. Bu tür şemaların ikinci dereceden şemalar olduğu ve oldukça hızlı bir şekilde birleştiği söylenir. Genel olarak herhangi bir adımdaki hata varsa yazılabilir.

K’nın yaklaşım aralığı boyunca yaklaşık olarak sabit olduğu durumlarda, yaklaşım şemasının (sırasında) O(∆x)n olduğu söylenir. Ayrıca ilgilenilen kökün çoklu kök olması durumunda bu yöntemde sorunlar çıkabileceği açıktır. P(x)’in herhangi bir çoklu kökü aynı zamanda P'(x)’in de kökü olacaktır.

Geometrik olarak bu, kökün polinomun x eksenine teğet olduğu bir noktada meydana geleceği anlamına gelir. Denklemin paydası en azından ikinci dereceden sıfıra yaklaşacağından, pay kök(ler) civarında doğrusal olarak sıfıra yaklaşabileceğinden, yakınsama kriterinin karşılanması olası değildir. Uygulamada, teğetin sığ eğimi, yineleme şemasını kökten uzağa hareket ettiren x(k)’de büyük bir düzeltmeye neden olacaktır.

Bu yaklaşımın mütevazı bir varyasyonu, oldukça daha istikrarlı bir yineleme şeması verir. Yaklaştırma doğrumuzun eğimini elde etmek için türevin yerel değerini kullanmak yerine yineleme dizisinden bir önceki noktayı kullanırsak, yerel teğet yerine önceki nokta ve şimdiki nokta üzerinden bir kesen oluşturabiliriz. 

Bu yöntemler gerçek kökleri bulmak için yararlı olsalar da, sunulduğu gibi, karmaşık kökleri bulmada etkisiz olacaklardır. Daha sofistike ve karmaşık düzlemde kökler aramaya varan çok sayıda yöntem vardır. Örneğin, Bairstow’un yöntemi, ilgilenilen polinomu, formun geri kalanını veren ikinci dereceden bir ilk faktöre sentetik olarak böler.

Bu formun polinomun iki kökünü içermesi için hem α hem de β sıfır olmalıdır. Bu iki kısıtlama, genellikle Newton-Raphson gibi bir şema veya sekant yönteminin versiyonları kullanılarak karmaşık düzlemde iki boyutlu bir arama yapılmasına izin verir.

Press ve diğerleri, Jenkins-Taub yönteminin veya Lehmer-Schur yönteminin kullanılmasını şiddetle tavsiye etmektedir. Bu oldukça karmaşık planlar, bu kitabın kapsamının çok ötesindedir, ancak üzerinde çalışılabilir.

Bu konudan ayrılmadan önce, ilk tahminin belirlenmesi hakkında bir şeyler söylemeliyiz. Denklemin belirlediği limitler, kökün başlangıç değerini seçmede faydalıdır. Ayrıca kökleri bulmanın düzenli bir ilerlemesini tasarlamamıza da izin veriyorlar.

Genel kök bulma programlarının çoğu bunu otomatik olarak yapacak olsa da, prosedürün gerçekten düzenli bir şema izleyip izlemediğini görmek için biraz zaman ayırmaya değer. Bu satırdan sonra, daha önce polinomların köklerini bulmanın zorluklarıyla ilgili uyarıları tekrarlamakta fayda var.

Genel programların körü körüne uygulanmasının felakete yol açacağı neredeyse kesindir. En azından, herhangi bir kökün orijinal polinomu ne kadar iyi karşıladığını görmek için kontrol edilmelidir. Yani, ne ölçüde P(xi) = 0’dır. Bu bile kökün doğruluğunu garanti etmese de, genellikle başka bir problemde kullanımını haklı çıkarmak için yeterlidir.

Jacobi yöntemi
Sayısal Analiz PDF
İterative model nedir
Sayısal Analiz Ders Notları
Jacobi iterasyon Yöntemi Matlab
Nümerik Analiz konuları
Nümerik Analiz Ders Notları
SAYISAL YÖNTEMLER

Eğri Uydurma ve Enterpolasyon

Enterpolasyon ve eğri uydurma süreçleri, temel olarak “hiçbir şey için bir şey” elde etme girişimleridir. Genel olarak, belirli bir noktalar kümesinde tanımlanmış bir işleve sahip olunmakta ve başka bir noktada işlev hakkında bilgi istenmektedir. Peki bu bilgi basitçe mevcut değildir.

Fonksiyonun davranışı hakkında bazı varsayımlarda bulunulmalıdır. “Bilgisayar sanatının” bir kısmının resme girdiği yer burasıdır. Kişi, tablonun ayrık girişlerinin neyi temsil ettiğine dair biraz bilgiye ihtiyaç duyar. Eksik bilgileri oluşturmak için bir enterpolasyon şeması seçerken, tablo girişlerinin işlevsel doğasıyla ilgili bazı varsayımlarda bulunulur.

Bu varsayım, polinomlar gibi davrandıklarıdır. Tüm enterpolasyon teorisi, polinom yaklaşımına dayanmaktadır. Emin olmak için polinomların basit bir denklem biçiminde olması gerekmez, ancak yine de denklem gibi bir biçimde polinomlar olacaklardır.

Tablo fonksiyonunun bir polinom tarafından temsil edilmesi temelinde eksik bilginin üretileceğini belirledikten sonra, problem bu polinomun katsayılarını belirlemeye indirgenir.

Aslında, polinomun temel biçimini belirleyen φi(x) fonksiyonlarının biçimi üzerinde biraz düşünülmelidir. Ne yazık ki, çoğu zaman, fonksiyonlar xi olarak alınır ve fonksiyonu temsil etmedeki herhangi bir zorluk, polinomun sırasını artırarak dengelenir.

Göreceğimiz gibi, bu en iyi ihtimalle tehlikeli bir prosedürdür ve saçma sonuçlara yol açabilir. Temel verilerin üstel mi yoksa periyodik mi olduğunu görmek ve eix, sin(i π x) veya diğer uygun fonksiyonel formların temel fonksiyonlarını kullanmak çok daha iyidir.

Tablo noktaları arasında daha az büyük ve beklenmedik dalgalanmalara tabi olan ve böylece daha makul bir sonuç üreten, daha düşük dereceden enterpolasyonlu fonksiyonlar kullanabilecektir.