Temel Fonksiyonlar – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti

Temel Fonksiyonlar

Polinomun temel fonksiyonlarını seçtikten sonra katsayıları belirlemeye geçilir. n’inci dereceden bir polinomun, (n+1) serbestlik derecesi olarak kabul edilebilecek (n+1) katsayılara veya tablo giriş noktalarına en iyi uyumu sağlayacak şekilde ayarlanacak n+1 serbest parametreye sahip olduğunu zaten gözlemledik. 

Bununla birlikte, herhangi bir zamanda masanın ne kadarının sığacağını seçme şansı yine de vardır. Enterpolasyon veya eğri uydurma için, tablo verilerinin mutlak kesinlik ile bilindiği varsayılır.

Bu nedenle, yaklaşık polinomun veri noktalarını tam olarak yeniden üretmesini bekliyoruz, ancak tablonun herhangi bir bölümünde bu talepte bulunacağımız veri noktalarının sayısı araştırmacının takdirinde kalıyor. Kullanılacak polinomun derecesine bakılmaksızın enterpolasyon formüllerimizi başlangıçta geliştireceğiz.

Ek olarak, eşit aralıklı verilerin enterpolasyonu etrafında geliştirilmiş çok sayıda literatür olmasına rağmen, aralığın keyfi olmasına izin vereceğiz. Türevlerimizde sonlu farklar operatörünün zarafetinden vazgeçecek olsak da, sonuçların genelliği bizi fazlasıyla telafi edecektir.

Bu daha genel formüller her zaman eşit aralıklı veriler için kullanılabilir. Bununla birlikte, genelliğimizi, örneğin kendimizi xi formunun temel işlevleriyle sınırlayacağımız ölçüde sınırlayacağız. Daha egzotik temel işlevlere genelleme genellikle basittir.

Son olarak, bazı yazarlar, enterpolasyon ile eğri uydurma arasında bir ayrım yaparlar; ikincisi, tüm tablo aralığına uyan tek bir işlevsel ilişkiye genişletilir. Bununla birlikte, yaklaşımlar temelde aynıdır, bu nedenle iki konuyu bir olarak ele alacağız. O halde Lagrange Enterpolasyon formüllerini geliştirerek başlayalım.

Lagrange Enterpolasyonu

Y(xi) veri noktalarından oluşan bir kümeye sahip olduğumuzu ve veri noktaları arasındaki fonksiyonun davranışını formun bir polinomu ile yaklaşık olarak tahmin etmek istediğimizi varsayalım.

Denklem, teknikleri kullanarak çözebileceğimiz n+1 aj katsayılı n+1 homojen olmayan denklemi temsil eder. Ancak, bağımlı değişken Y(xi)’nin değerlerini her değiştirdiğimizde değiştirilmesi gereken tek bir enterpolasyon formülümüz olur. Bunun yerine, formun n+2 homojen denklemini oluşturmak için (3.2.1) ve (3.2.2) denklemlerini birleştirelim.

Burada Ai(x), son sütundaki genişlemeden ortaya çıkan minörlerdir ve Yi’lerden bağımsızdırlar. Bunlar basitçe xj’lerin lineer kombinasyonlarıdır ve lineer kombinasyonun katsayıları sadece xi’lere bağlıdır.

Böylece herhangi bir xi bağımsız değişken seti için bunları bir kez hesaplamak ve sonuçları herhangi bir Yi seti için kullanmak mümkündür. Determinant x kj, yalnızca bağımsız değişkenin tablo değerlerinin aralığına bağlıdır ve Vandermode determinantı olarak adlandırılır ve verilir.

Lagrangian enterpolasyon polinomlarının denklemlerle açıklandığı gibi kullanılması, enterpolasyon için tüm tablo girişlerinin kullanılmasını önerir. Bu genellikle böyle değildir. Biri tablo noktalarının bir alt kümesini seçer ve bunları enterpolasyon için kullanır. Mevcut tüm tablo verilerinin kullanılması, genellikle, tablo verilerinin davranışını temsil etmesi muhtemel olmayan veri noktaları arasında hızlı varyasyonlara sahip olan çok yüksek derecede bir polinomla sonuçlanacaktır.

Burada özellikle sayısal analizin “sanatsal” yönlerinden biriyle karşı karşıyayız. Yalnızca tablo verilerinin değerlerini biliyoruz. Tablo verilerini bağımsız değişkenin diğer değerlerinde temsil etmek için seçtiğimiz şema, yalnızca bu davranışla ilgili sahip olduğumuz bazı estetik duyuları tatmin etmelidir.

Fonksiyonlar PDF
Fonksiyonlar Konu Anlatımı PDF
Fonksiyonlar Sorular
fonksiyonlar konu anlatımı pdf
Fonksiyonlar özet
Temel İŞLETME Fonksiyonları
Fonksiyonlar 1
Fonksiyonlar SORU PDF

Bu anlam, basitçe mevcut olmadığı için değerlendirilecek nesnel bilgi için ölçülemez. Bunu göstermek ve Lagrangian polinomlarının kullanımını ölçmek için verilen xi ve Yi için fonksiyonel değerleri göz önünde bulundurun.

Bağımsız değişken x = 4 olduğunda bağımlı değişken Y için bir değer elde etmek istiyoruz. Tablo değerlerinin değişimi gösterildiği gibi Yi hızlıdır, özellikle x = 4 civarında. interpolatif polinomlardır.

Puan sayısı sıralamayı belirleyecek ve hangi noktaların kullanılacağına biz karar vermeliyiz. Noktalar genellikle bağımsız değişkenin istenen değerine yakınlığına göre seçilir. Bunları xk tablo girişinden başlayarak sırayla seçelim. O zaman n’inci dereceden Lagrangian polinomları olacaktır.

Görülebileceği gibi, bu lineer enterpolasyon örneği oldukça tatmin edici bir sonuç verir. Bununla birlikte, biraz daha karmaşık olmak ve tablo işlevinin davranışına bir parabol ile yaklaşmak istersek, hangi üç noktanın seçileceği sorunuyla karşı karşıya kalırız. İstenen noktayı solda iki nokta ve sağda bir nokta olacak şekilde parantez içine alırsak, formun Lagrangian polinomlarını elde ederiz.

Ancak enterpolasyonlu değeri elde etmek için bu polinomları işlevsel olarak değerlendirmek gerekli değildir. Denklemlerin sağ tarafında verilen bağımsız değişkenin özgül değeri için yalnızca Lagrange polinomlarının sayısal değeri, Yi’nin uygun değerleri ile birlikte doğrudan denklemde ikame edilmelidir.

Bu, verilen 21 Φ(4) ve 2 Φ(4) değerlerine yol açar. Değerler oldukça farklıdır, ancak doğrusal enterpolasyonun sonucunu parantez içine alın.

Denklemler enterpolasyonun gerçekleştirilmesi için kabul edilebilir bir yöntem sağlarken, daha verimli ve kolayca programlanmış yöntemler vardır. Bunlardan en doğrudan olanlarından biri, k dereceli interpolatif bir polinomun değerlerinin ardışık veri noktaları kümelerine uyduğu özyinelemeli bir prosedürdür. Bu yöntemde, polinomun x ile davranışı bulunmaz, sadece belirli bir x seçimi için değeri bulunur.

Bu sonuçları tam olarak tekrarlaması şaşırtıcı değildir, çünkü bir k+1 nokta kümesinden geçen belirli bir k derecesinin polinomu benzersizdir. Dolayısıyla bu algoritma, Lagrangian enterpolasyonunu gerçekleştirmek için özellikle verimli bir yöntemi tanımlar ve çoğu özyinelemeli prosedür gibi, bir bilgisayarda kolayca uygulanır.

Parabollerden hangisinin “daha iyi” olduğuna nasıl karar vereceğiz? Bazı gerçek anlamda, her ikisi de eşit derecede olasıdır. 21Φ(4)’ün büyük değeri, tablo işlevinin seçilen üç nokta boyunca hızlı değişmesinden kaynaklanır ve çoğu kişi, sonucu çok yüksek olduğu için reddeder.

Ancak, bunun tamamen öznel bir yargı olduğunu unutmamalıyız. Belki de her iki taraftaki tablo varyasyonunun eşit ağırlıklı olmasını sağlamak için her iki tarafta da her zaman aynı sayıda noktaya sahip olunması tavsiye edilir.

Bu, tek dereceli polinomlarla enterpolasyona yol açar. Bağımsız değişkenin istenen değerinin her iki yanında iki nokta seçersek, yerel noktalardan bir kübik yerleştirir ve 21 Φ(4)’e oldukça yakın olan 31 Φ(4) elde ederiz. Açıktır ki, x = 4’ten önceki noktaların tablo halindeki hızlı değişimi söz konusudur.

Peki hangisi doğru? Bu sorunun nesnel olarak “doğru” bir yanıtı olmadığını vurgulamalıyız. Genel olarak, tablo değerlerinden daha hızlı değişmeyen enterpolasyonlu bir işlev tercih edilir, ancak bu değerler seyrek olduğunda bu kriteri uygulamak zordur.