Vektörler ve Matrisler – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti

Vektörler ve Matrisler

Genel olarak atmosferin durumu yerel olarak skaler alanlar cinsinden tanımlanabilse de, konumun kendisi, spesifikasyonu için tek bir skaladan daha fazlasını gerektirir. Şimdi, skaler alanlarla daha fazla açıklama için atmosferin o bölümünü belirleyen enlem ve boylam gibi iki (yüksekliği eklersek üç) sayıya ihtiyacımız var.

Spesifikasyonu için birden fazla sayı gerektiren bir niceliğe vektör denilebilir. Gerçekten de, bazıları bir vektörü “sıralı n-sayı dizisi” olarak tanımlamıştır. Birçoğu bunu çok yardımcı bulmasa da, vektör kavramının çok bileşenli tarafını vurgulayan, özünde doğru bir ifadedir.

Vektörün özelliği için gerekli olan bileşenlerin sayısı genellikle vektörün boyutsallığı olarak adlandırılır. Vektörleri en çok uzamsal vektörler olarak düşünürüz. Bazı koordinat sistemlerindeki şeyleri bulan vektörlerdir.

Bununla birlikte, önceki bölümde önerildiği gibi, vektörler, niceliğin uzayın her noktasında kendisiyle ilişkili bir büyüklük veya skaler uzunluğa sahip olmakla kalmayıp, aynı zamanda bir yönü de olduğu elektrik veya manyetik alan gibi şeyleri temsil edebilir.

Bu tür nicelikler, toplama yasalarına ve bir tür çarpmaya uydukları sürece, gerçekten de vektör alanları oluşturdukları söylenebilir. Aslında, vektörlerle ilişkilendirilen çeşitli ürün türleri vardır. Bunlardan en yaygın olanı ve çoğu fiziksel vektör alanının alan doğasını oluşturmak için kullanılanı “skaler” olarak adlandırılır.

İşlemin sonucu olarak bir vektör değil bir skaler olduğu söylenebilir, ancak bu, bir vektör ile ne kastettiğimize ilişkin bir yorumu kısıtlayıcı hale getirmek olacaktır.

Spesifik olarak, herhangi bir skaler, yalnızca bir bileşene (yani 1 boyutlu bir vektör) sahip vektör olarak görülebilir. Böylece skalerler, vektörlerin bir alt grubu haline gelir ve vektör skaler çarpımı, 1 boyutlu vektörler için sıradan skaler çarpıma dönüştüğü için, bunlar aslında daha genel bir vektör alanı kavramının bir alt alanıdır.

Elemanların alan doğasını bozmadan bir alana ek kısıtlamalar (yasalar) koymak mümkündür. Bunu kesinlikle vektörlerle yapıyoruz. Böylece, “vektör çarpımı” olarak bilinen ek bir çarpım türü tanımlayabiliriz veya yaygın olarak yazıldığı şekilde tekrar çapraz çarpım yapabiliriz. Böylece Kartezyen koordinatlarda çapraz çarpım yazılabilir.

Burada “yasayı” uygulamanın sonucu, sıralı bir (n×m) sayı dizisidir; burada n ve m, sırasıyla Ar ve Br vektörlerinin boyutlarıdır. Yine, burada yasayı uygulamanın sonucu, normal tanımın herhangi bir anlamında bir vektör değil, tensörler olarak adlandıracağımız daha büyük bir nesne sınıfının bir üyesidir. Ancak tensörleri genel olarak tartışmadan önce, bunların matrisler olarak bilinen özel bir sınıfını ele alalım.

(1.2.3) denkleminin sonucu, spesifikasyonu için birden fazla bileşene ihtiyaç duyarken, açıkça sadece boyutlu (n×m) bir vektör değildir. n ve m değerleri ayrı ayrı belirtilir ve yalnızca ürünü belirtmek, başlangıçta belirtilen bilgileri çöpe atmak olur.

Matris vektör Çarpımı
Vektör matris nedir
Vektörel çarpım örnek
İndirgenmiş Eşelon matris hesaplama
Vektörel çarpım
Vektörlerde vektörel çarpım
Statik Vektörel çarpım
Tork vektörel çarpım

Böylece, bu bilgiyi korumak için, sonucu n sütun ve m satıra sahip bir sayı dizisi olarak gösterebiliriz. Böyle bir dizi matris olarak adlandırılabilir. Matrisler için zaten tanımlanmış olan ürünlerin basit bir yorumu yoktur. Bununla birlikte, matris çarpımı olarak bilinen ve en azından bir matris grubu tanımlamamıza izin verecek ek bir çarpım vardır.

Grubun bu üyelerinin nasıl hesaplanabileceğini tartışmak için bir sonraki bölümde biraz zaman harcayacağız. Matris toplama basitçe matrisin elemanlarının skaler toplamı olarak tanımlanabileceğinden ve toplama altındaki ‘birim’ matrisi basitçe sıfır elemanlı bir matris olduğundan, matris grubunun da bir alan oluşturduğunu düşünmek cazip gelebilir.

Bununla birlikte, denklemle tanımlanan matris çarpımı, toplamaya göre dağıtıcı iken, iletişimsel değildir. Bu nedenle, matrislerin hem toplama hem de matris çarpımı altında bir grup oluşturması, ancak bir alan oluşturmaması ile yetinmemiz gerekecek.

Bu bölümün diğer konularında olduğu gibi matrisler hakkında söylenebilecek daha çok şey var, ancak kendimizi matrislerin daha sonra özellikle yararlı olacak birkaç özelliği ile sınırlayacağız. Örneğin, elemanları Aij olan bir matrisin devrik tanımlanır.

Ai j= Aji ise bir matrisin simetrik olduğu söylenir. Ek olarak, elemanların kendileri karmaşık sayılarsa, o zaman devriğin elemanları orijinal matrisin karmaşık eşlenikleri ise, matrisin Hermitian veya kendine eş olduğu söylenir.

A matrisinin eşlenik devrikliği genellikle A† ile gösterilir. A’nın Hermitian eşleniği de A-1 ise, matrisin üniter olduğu söylenir. 

Neyse ki bir sonraki bölümde ele alacağımız determinantı hesaplamanın daha basit yolları var. Belirleyicileri manipüle etmek için yararlı olan ve kanıtlamadan vereceğimiz belirleyicilerle ilgili birkaç teorem vardır.

1. Bir matrisin satır veya sütunundaki her eleman sıfırsa, matrisin determinantı sıfırdır.
2. Bir matrisin satırındaki veya sütunundaki her eleman bir skaler q ile çarpılırsa, determinant q ile çarpılır.
3. Bir satırın veya sütunun her elemanı iki terimin toplamıysa, determinant karşılık gelen iki determinantın toplamına eşittir.
4. İki satır veya iki sütun orantılıysa determinant sıfırdır. Bu açıkça teorem 1, 2 ve 3’ten çıkar.
5. İki satır veya iki sütun değiştirilirse, determinant işaret değiştirir.
6. Bir matrisin satırları ve sütunları değiştirilirse, matrisin determinantı değişmez.
7. Bir matrisin determinantının değeri, bir satır veya sütunun katı diğerine eklenirse değişmez.
8. İki matrisin çarpımının determinantı, iki matrisin determinantlarının çarpımıdır.

Determinantın önemli yönlerinden biri, matrisi karakterize etmek için kullanılabilecek tek bir parametre olmasıdır. Bu tür herhangi bir tek parametre (yani, elemanların mutlak değerlerinin toplamı) bu şekilde kullanılabilir ve genellikle matris normu olarak adlandırılır.

Matris üzerinde işlem yaparken hangi sayısal prosedürlerin yararlı olacağını belirlemede çeşitli matris normlarının yararlı olduğunu göreceğiz. Sonraki yazımızda skalerleri, vektörleri ve bir dereceye kadar matrisleri içeren daha geniş bir nesne sınıfını ele alacağız. 

akademi222 takımı

Biyografinin Tamamını Gör