Sayısal Çözüm – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti

İntegral Denklemlerin Sayısal Çözümü

Hiçbir zaman tam olarak anlayamadığım nedenlerden dolayı, matematiksel literatür, diferansiyel denklemler konusundaki kitaplar, makaleler ve makalelerle dolu. Çoğu üniversitede konuyla ilgili birkaç ders vardır, ancak integral denklemler konusuna çok az ilgi gösterilir.

Diferansiyel operatör doğrusaldır ve integral operatör de öyle. Aslında biri diğerinin tam tersidir. Denklemler, bağımlı değişkenin tek başına olduğu gibi bir integral altında göründüğü yerde de yazılabilir. Bu tür denklemler, diferansiyel denklemlerin analoğudur ve integral denklemler olarak adlandırılır.

Bir diferansiyel denklemi, problemin sayısal olarak çözülmesini kolaylaştırabilecek bir integral denkleme dönüştürmek genellikle mümkündür. Gerçekten de pek çok fiziksel fenomen, integral denklemlerle açıklanmaya elverişlidir. Dolayısıyla, diferansiyel denklemler kadar geniş bir analiz alanı oluşturabilecekleri düşünülebilir.

Durum böyle değil. Aslında, bu ilginç denklemlerin tartışılmasına gerektiği kadar zaman ayıramayacağız, ancak öğrencinin en azından bazı temel özelliklerine aşina olması için yeterince zaman ayıracağız. Zorunlu olarak, tartışmamızı bilinmeyenin doğrusal olarak göründüğü integral denklemlerle sınırlayacağız. Bu tür doğrusal denklemler daha izlenebilirdir ve yine de bilimde ilgi çekici olan pek çok şeyi açıklar.

Doğrusal İntegral Denklem Türleri

Kapsamlı olmasa da yaygın türlerin çoğunu içeren integral denklemler için standart sınıflandırma şemasını izleyeceğiz. Temelde onları ilk kez ayrıntılı olarak inceleyen matematikçilerin anısına Fredholm ve Volterra olarak bilinen iki ana sınıf vardır. 

redholm denklemleri belirli integralleri içerirken, Volterra denklemlerinin limitlerinden biri bağımsız değişkendir. Bu kategorilerin her biri, bağımlı değişkenin integral işaretinin altında olduğu kadar dışında da görünüp görünmemesine göre daha da alt bölümlere ayrılabilir. Böylece, bilinmeyen φ için iki tür Fredholm denklemi vardır.

İntegrandda görünen K(x,t) parametresi, integral denklemin çekirdeği olarak bilinir. Biçimi, çözümün doğasını belirlemede çok önemlidir. Elbette F(x)’in sıfır olup olmamasına bağlı olarak homojen veya homojen olmayan integral denklemlere sahip olunabilir. İki sınıftan Fredholm’u çözmek genellikle daha kolaydır.

Fredholm Denklemlerinin Sayısal Çözümü

İntegral denklemleri çözmek genellikle karşılık gelen bir diferansiyel denklemden daha kolaydır. Bunun nedenlerinden biri, çözümün kesme hatalarının, diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan sayısal entegrasyon işlemi sırasında birikme eğilimindeyken, kareleme işlemiyle ortalaması alınma eğiliminde olmasıdır.

En basit yaklaşım, integrali kareleme toplamıyla değiştirmektir. Birinci tip Fredholm denklemleri durumunda, bu, kareleme şeması tarafından kullanılan ayrı bir tj nokta kümesinde bilinmeyen φ(x) için fonksiyonel bir denklemle sonuçlanır.

Çözüm, xj kareleme noktalarında elde edilecektir, böylece bir kareleme şemasının seçiminde dikkatli olunması ve ilgi noktalarını içeren bir tanesinin seçilmesi istenebilir.

Ancak, eksik noktalar için enterpolasyon yapmak ve çözüm kümesini oluşturan devinimin aynı derecesini korumak için çözüm kümesi φ(xj) kullanılabilir. 2. tip Fredholm denklemleri için, integrali bir kareleme şemasıyla değiştirmekle aynı hile yapılabilir.

Burada bilinmeyen φ(x) integralin dışında göründüğü için biraz dikkatli olmalıyız. Dolayısıyla denklem, φ(x)’in kendisi için fonksiyonel bir denklemdir. Ancak bu fonksiyonel denklemi Fredholm tip 1 denklemleri için yaptığımız gibi değerlendirerek elde ederiz.

Burada φ(xj) çözüm kümesi, dördünleme şemasıyla aynı hassasiyet derecesine sahip olacak ve x’in tüm değerleri için geçerli olacak olan φ(x) için bir enterpolasyon formülünü doğrudan elde etmek üzere denklem (5.2.7)’de ikame edilebilir.

Bu tür denklemler, limitlerin gerektirdiği uygun Gauss kareleme şeması kullanılarak verimli bir şekilde çözülebilir. Ek olarak, K(x,t) çekirdeğinin formu, kareleme şemasının seçimini etkileyebilir ve kareleme ağırlık fonksiyonlarında çekirdeğin davranışının mümkün olduğu kadar çoğunu dahil etmek yararlıdır. Çekirdeğin doğasına ve çözümün kendisi hakkında ne tahmin edilebileceğine bağlı olarak a → b aralığını birkaç parçaya ayırmayı da seçebiliriz.

Sayısal YÖNTEMLER PDF
SAYISAL YÖNTEMLER
SAYISAL ÇÖZÜMLEME PDF
SAYISAL ÇÖZÜMLEME Ders notları
KTÜ SAYISAL ÇÖZÜMLEME
Nümerik çözüm Nedir
Sayısal ÇÖZÜMLEME
Sayısal çözümleme Vize Soruları

Alt aralıklar için müteakip kareleme şemaları, polinomların bir alt aralıktan diğerine sürekliliğine bağlı olmayacak ve alt aralıkta daha doğru yaklaşıma izin verebilir.

Bunu denklemle karşılaştırdığımızda, F(x) = 1 olduğunu ve çekirdeğin ayrılabilir olduğunu görüyoruz, bu da bizi hemen analitik bir çözüme götürüyor. İntegral belirli bir integral olduğundan, bir sabit α olarak kabul edilebilir ve çözüm formun doğrusal olacaktır.

Bununla birlikte, denklem sayısal bir çözüm gerektirseydi, o zaman integrali bir kareleme toplamı ile değiştirerek ve ortaya çıkan fonksiyonel denklemi kareleme noktalarında değerlendirerek ilerlerdik. Çözümün lineer olduğunu bilerek, kesin bir cevap verecek kadar yüksek bir kesinlik derecesine sahip olan Simpson kuralı olarak karelemeyi seçelim. Çözüm için doğrusal denklemler olur.

Bu tür denklemlerin çözümü için bir tema üzerinde varyasyonlar olsa da, temel yaklaşım bu yaklaşımla güzel bir şekilde gösterilmektedir. Şimdi genel olarak daha zorlu Volterra denklemlerine dönelim.

Volterra Denklemlerinin Sayısal Çözümü

Volterra denklemlerine Fredholm denklemlerine yaklaştığımız gibi yaklaşabiliriz, ancak integralin üst sınırının denklemin bağımsız değişkeni olması sorunu vardır.

Bu nedenle, aralığın uç noktalarını kullanan bir kareleme şeması seçmeliyiz; aksi halde ilgili kareleme noktalarında fonksiyonel denklemi değerlendiremeyeceğiz. Volterra denklemlerinin, genel olarak, çekirdeğin bulunduğu Fredholm denklemlerinin sadece özel durumları olduğu görüşü benimsenebilir.

Kareleme şeması uç noktaları içermekle kalmaz, aynı zamanda bir eşit aralık formülü olmalıdır, böylece fonksiyonel denklemin ardışık değerlendirmeleri, fonksiyonun daha önce değerlendirildiği noktaları içerir.

Ancak, bunu yaparak (n+1) bilinmeyenli n lineer denklem sistemi elde ederiz. φ(a)’nın değeri denklem tarafından açıkça belirtilmemiştir ve F(x)’in fonksiyonel davranışından elde edilmelidir. φ(x)’in eksik değerini sağlayan bir kısıtlamadır.

φ(a)’nın değeri, denklemleri ardışık ikame ile hızla çözülebilen bir üçgen sisteme indirger. Aynı yöntem, 2. tip akma Volterra denklemleri için kullanılabilir.

Bu doğrudan çözüm yöntemlerinin pratikte nasıl uygulanabileceğini düşünün. Diferansiyel denklemler için çok iyi bir test durumu işlevi gören denklemi (5.1.10) seçelim. Bu denklemi Picard’ın yöntemi için kurarken, onu formun tip 2 Volterra integral denklemine dönüştürdük.