Dağılım Fonksiyonlarının Momentleri – Tez Hazırlatma – Tez Yaptırma – Tez Yaptırma Fiyatları – Tez Örnekleri – Ücretli Tez Yazdırma – Tez Yaptırma Ücreti

Dağılım Fonksiyonlarının Momentleri

Bir fonksiyonun momenti ile ne kastedildiğini tanımlayarak başlayalım. Bir fonksiyonun momenti, ilgili bir özelliğin, dağılım fonksiyonunun tanımlandığı uzay üzerindeki olasılık yoğunluk dağılım fonksiyonu ile ağırlıklandırılmış integralidir. Bu tür anların yaygın örnekleri istatistiklerde bulunabilir.

Bir dağılım fonksiyonunun ortalaması veya ortalaması, sadece dağılım fonksiyonunun ilk momentidir ve varyans olarak adlandırılan şey, basitçe ikinci anla ilişkilendirilebilir. Genel olarak, dağılım fonksiyonu analitik ise, fonksiyonda bulunan tüm bilgiler o fonksiyonun momentlerinde de bulunur.

Herhangi bir analiz türünde en zor sorunlardan biri, belirli bir fenomenin temel doğasını anlamak için hangi bilgilerin gereksiz olduğunu bilmektir. Başka bir deyişle, hangi bilgiler güvenle atılabilir?

Bir fenomeni temsil eden tam olasılık yoğunluk dağılım fonksiyonu, fenomen hakkında genellikle bilmek istediğimizden çok daha fazla bilgi içerir. Belirli bir momenti elde etmek için işlevi tanımlanmış alanı üzerinde entegre etme işlemi, işlev hakkındaki bilgilerin çoğunu kaldırır veya ortalar.

Ancak, yorumlanması çok daha kolay olan parametrelerle sonuçlanır. Böylece, sonucu kullanma ve fenomenin bazı açık özelliklerini elde etme yeteneği için bilgi değiş tokuş edilir. Bu, matematiksel analizin standart bir “hilesi”dir.

O halde k’inci moment, o değişkenin tüm izin verilen değerleri üzerinden ortalaması alınan ve olasılık yoğunluk dağılım fonksiyonu tarafından ağırlıklandırılan bağımsız değişkenin k’inci gücüdür. Momenti ∫f(x)dx ile normalleştirmeyi seçtiğimiz için açıkça M0 birliktir.

Bu, f(x)’in normalleştirilmiş bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olmadığı nadir durumlarda, Mk’nin birimlerini xk’nin ortalama büyüklüğü ve birimleriyle aynı yapma pratik avantajına sahiptir. a ≤ -x- ≤ b bağımsız değişkeninin bir aralığı için f(x) fonksiyonu tanımlanırsa, momentler yazılabilir.

Denklemlerde, olasılık yoğunluk dağılım fonksiyonu f(x) tarafından temsil edilen sürekli rasgele değişken x’in momentlerini tanımlamayı seçtik. Bununla birlikte, integralin bir toplamla değiştirildiği ve olasılık yoğunluk dağılım fonksiyonunun, rastgele değişkenin kendisinin özel değerini elde etme olasılığıyla değiştirildiği bir dizi ayrık momenti de aynı kolaylıkla tanımlayabiliriz. 

Analitik bir fonksiyonun momentlerinin eksiksiz bilgisi, fonksiyonun ve dolayısıyla içerdiği tüm bilgilerin belirtilmesine olanak sağlarken, bu bilgilerin çoğunu elde etmek için genellikle momentlerin yalnızca birkaçını belirtmek yeterlidir. Aslında bu, anlar kavramının gücü ve kullanışlılığıdır.

Bir olasılık yoğunluk dağılım fonksiyonunu karakterize eden ve istatistikte yaygın olarak kullanılan dört parametre ortalama, varyans, çarpıklık ve basıklıktır. İsteğe bağlı bir dağıtım işlevi için bu parametrelerin grafiksel bir temsilini gösterir.

Moment çıkaran fonksiyon varyans
Moment ureten fonksiyon
Standart normal dağılım
Moment çıkaran fonksiyon örnekleri
Olasılık fonksiyonu Soruları
Moment çıkaran fonksiyondan beklenen değer bulma
Normal dağılım Ders Notları
Biyoistatistik normal dağılım nedir

Bu dört parametre, olasılık yoğunluk dağılım fonksiyonu f(x) hakkında çok fazla bilgi sağlar ve dağılım fonksiyonunun ilk dört momenti ile ilişkilidir. Aslında, bir fonksiyonun ortalaması basitçe ilk an olarak tanımlanır ve genellikle μ sembolü ile gösterilir.

Normal eğrinin ‘genişliğini’ belirtmek için σ sembolünü zaten kullandık ve buna standart sapma denir [denkleme bakın. Bu örnekte, ‘genişlik’, rastgele değişkenin ortalamadan uzaklaşmasının ortalama karekökünün bir ölçüsüydü. σ2 miktarı resmi olarak fonksiyonun varyansı olarak adlandırılır ve tanımlanır.

Dolayısıyla varyans, f(x)’in ikinci momenti tarafından sağlanan bilgiyi açıkça içerir ve sadece ortalama kare eksi ortalamanın karesidir. Boyutsuz bir parametreyi, yani bir fonksiyonun çarpıklığını, f(x)’in ortalama değerinden uzaklaşmasının küpünün bir ölçüsü olarak tanımlayabiliriz.

s3’e verilen çarpıklık adı, f(x) işlevi hakkında neyi ölçtüğünü açıklar. Dağılım fonksiyonu μ civarında simetrik ise, denklemdeki integralin integrali anti-simetriktir ve s = 0’dır. Eğrilik pozitifse, o zaman ortalama olarak f(x) > f(-x) ve dağılım fonksiyonu sağa ‘çarpıktır’.

s3 < 0 için durum tersine çevrilir. Bu parametre, dağılım fonksiyonunun göreli şeklinin bir yönünü tanımladığından, birim taşımayacak şekilde normalize edilmelidir. Denklemin paydasında σ3’ün bulunmasının nedeni budur.

Tahmin edilebileceği gibi basıklık, olasılık yoğunluk dağılım fonksiyonunun dördüncü anından gelen bilgileri içerir. Çarpıklık gibi basıklık da varyansın karesi ile normalleştirildiği için boyutsuzdur. Bu nedenle, bir fonksiyonun basıklığı tanımlanır.

Denklemin verdiği normal eğri için, β = 3. Bu nedenle, β < 3 ise, f(x) dağılım fonksiyonu maksimumun yakınında normal eğriden daha düzdür, β > 3 ise daha keskin bir dağılım fonksiyonu anlamına gelir. zirve yaptı. İstatistiksel analizin büyük bir kısmı, bir olay örneğinin ne ölçüde normal bir olasılık dağılım fonksiyonunu temsil ettiğini belirlemekle ilgilendiğinden, bu son iki parametre çok yardımcı araçlardır.

Bir f(x) fonksiyonunun ortalamasını <x> olarak gösterir. Bunun, durumda olduğu gibi x’in en olası değeriyle aynı olmadığına dikkat edin. Bununla birlikte, bazı gerçek anlamda σ hala fonksiyonun genişliğinin bir ölçüsüdür. Çarpıklık, f(x)’in asimetrisinin bir ölçüsüdür, basıklık ise f(x)’in normal bir eğriye göre ‘düzleşme’ derecesini temsil eder. Üst ve alt çeyrekler, medyan ve mod için değerlerin yerini de işaretledik.

Bir dağılım fonksiyonunu karakterize etmek için sıklıkla kullanılan iki nicelik daha vardır. Bunlar medyan ve moddur. Medyan kavramını anlamak için, daha genel bir yüzdelik kavramını ele alalım. Rastgele değişkenin a xb aralığındaki değerleri için tanımlanmış bir olasılık yoğunluk fonksiyonunu ele alalım. Şimdi α’nın, aralığın xα’ya karşılık gelen kısmını temsil etmesine izin verin.

α’nın değeri genellikle a → b aralığının yüzdesi cinsinden verilir, dolayısıyla xα’nın adı verilir. xα, olayın numune denemelerinin yüzde α’sında meydana gelme olasılığının bir ölçüsüdür. α, 1/4 veya 3/4 kesri olarak verildiğinde, xα, çeyrek Qα olarak bilinir.

Spesifik olarak x1⁄4 alt çeyrek, x3/4 ise üst çeyrek olarak adlandırılır. x1⁄2 parametresi medyanın özel adını alır. Dolayısıyla medyan, x 1⁄2’den büyük veya küçük olan bir olayın meydana gelmesinin eşit derecede olası olduğu x rasgele değişkeninin değeridir.

Son olarak, mod terimi, x’in en sık meydana gelen değeri için ayrılmıştır. Bu parametre, tartışılan x’in beklenti değerine benzer. Sürekli dağılım fonksiyonları için bu, eğrinin maksimum olduğu yerde açıkça ortaya çıkacaktır. Böylece bir fonksiyonun kipini şu şekilde tanımlayabiliriz.

Bu bölümde sürekli olasılık yoğunluk dağılım fonksiyonu f(x) açısından tüm tanımları yaptık. Bu özel parametrelerin oluşturulmasının nedeni, bu işlevi x’in tüm değerleri için numaralandırmadan karakterize etmenin yollarını sağlamaktır.

Bu parametreler, f(x)’i diğer dağılım fonksiyonlarıyla belirli sınırlar içinde karşılaştırmamıza ve böylece f(x)’e neden olan koşulların, bilinen olasılık yoğunluk dağılım fonksiyonlarını veren koşullara ne ölçüde karşılık geldiğini belirlememize olanak tanır.